Hogyan lehet egy függvény szélsőértékét meghatározni a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség segítségével?

Egy egyszerű példa;

vizsgáljuk a pozitív valós számok halmazán az x+(1/x) függvényt, és keressük meg a minimumát!

Ki akarjuk használni a közepek közti egyenlőtlenséget. Azt látjuk, hogy két szám összege van, ezért ha osztunk 2-vel, akkor azok átlagát kapjuk, persze az értéket nem szeretnénk, hogy változzon, ezért szorozzuk is be 2-vel, tehát ezt kapjuk: 2*[(x+(1/x))/2]. A szögletes zárójelen belüli kifejezésről tudjuk, hogy legalább annyi, mint az összegben szereplő kifejezések mértani közepe, vagyis gyök(x*(1/x))=gyök(1)=1, tehát

2*[(x+(1/x))/2] >= 2*1 = 2, ezzel a függvénynek sikerült megadni egy alsó korlátját (aminél szükségszerűen nem vesz fel kisebb értékét), már csak az a kérdés, hogy ezt az értéket fel is veszi-e valahol, tehát meg kell oldanunk a fenti egyenletet, amelyre ránézésre látjuk, hogy x=1 a megoldása, tehát a függvénynek valóban 2 lesz a minimuma.

A lényeg az, hogy ha ezt használjuk, akkor összegből szorzat keletkezik és fordítva, és a feladat jellegéből adódóan általában pont, hogy a másikkal egyszerűbb számolni; értelemszerűen ha szorzat van, akkor összegalakra kell hozni, ha pedig összeg, akkor szorzatalakra, persze ilyenkor a megfelelő szélsőérték a kérdés; ha összeg van (mint itt), akkor a minimumot tudjuk megadni a mértani középből, ha pedig szorzat, akkor a maximumot az összegből.