Az 1,2,3 számjegyek mindegyikének felhasználásával hány 4 jegyű számot tudunk előállítani?

Ugye ha nem kéne mindegyiket használni, akkor 3*3*3*3 négyjegyű számot lehetne belőlük előállítani.

De ebből nem lesz jó, amiben csak kétféle számjegy van. A kétféle számjegy lehet az 1 és 2, 2 és 3, 3 és 1, tehát összesen háromféle, így ilyen számból 3*2*2*2*2 van.

Ha ezeknek a számát levonjuk, azzal már csak annyi a gond, hogy az 1111-et az első és harmadik, a 2222-t az első és második, valamint a 3333-at a második és harmadik csoportban is levontuk, mindhármat kétszer, pedig csak 1-szer lett volna szabad, tehát 3-at vissza kell adni.

A végeredmény így 3*3*3*3 – 3*2*2*2*2 + 3*1*1*1*1 = 36.

Másik lehetőség, hogy a két egyforma számjegy 4 alatt a 2, azaz 6-féle helyre kerülhet, és 3-féle lehet, és ezután a maradék két helyre eldönthetjük, hogy a két nem használt számjegy közül melyiket írjuk, a harmadik már egyértelmű:

3*6*2*1 = 36 lehetőség.

Esetszétválasztással; aszerint vizsgáljuk az eseteket, hogy melyik számot duplázzuk;

1. eset: két darab 1-es van, tehát az 1;1;2;3 számjegyeket kell sorbarendeznünk, erre 4!/2!=24/2=12-féle lehetőség van.

2. eset: két darab 2-es van, ekkor 1;2;2;3 számjegyeink vannak, itt szintén 4!/2!=12-féle lehetőség van.

3. eset: két darab 3-as, szintén 12 végkifejlettel.

Ezek összege adja a négyjegyű számok számát, ami 12+12+12=36.

A tegnapi 22:56-os gondolatmenet javítva (ugye ennyi erővel azt is mondhatnánk, hogy a végeredmény 12^2/2/2, amit nem kell magyarázni, mert hát így van):

Az első helyre 3-féle mehet, ezért a képlet így kezdődik: 3*…

A második helyre szintén 3-féle mehet, de különbséget kell tenni, hogy ugyanaz-e, mint az első helyen levő, ha ugyanaz, akkor 1-féle lehet, ha különböző, akkor 2-féle, tehát a képlet így folytatódik: 3*(1*… + 2*…)

Ha a második ugyanolyan, mint az első, akkor a harmadik már csak 2-féle lehet, a negyedik pedig egyértelmű: 3*(1*2*1 + 2*…)

Ha a második számjegy különbözik az elsőtől, akkor a harmadik 3-féle lehet, viszont megint szét kell bontanunk az eseteket, hogy egyezik az előző kettő közül valamelyikkel (2 lehetőség) vagy pedig mind a kettőtől különbözik (1 lehetőség): 3*(1*2*1 + 2*(2*… + 1*…))

Előbbi esetben a vége egyértelmű, viszont utóbbiban az utolsó helyre még 3-féle kerülhet, tehát a végeredmény:

3*(1*2*1 + 2*(2*1 + 1*3)).