Segítség, matek házi! Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja az x-2y=3 egyenletű egyenes -1 abszcisszájú pontja, és a sugara gyök alatt hét egység?

1.

Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja az x-2y=3 egyenletű egyenes -1 abszcisszájú pontja, és a sugara gyök alatt hét egység?

A kör egyenlete: (x-u)² + (y-v)² = r²

Mivel a sugár 'gyök alatt hét egység', ezért r² = 7.

Az x-2y=3 egyenletű egyenes -1 abszcisszájú pontjához: abszcissza = x koordináta; ordináta = y koordináta.

A (-1)-et behelyettesítjük az egyenes egyenletébe, azaz x helyett (-1)-et írunk bele:

-1-2y = 3

Ebből kiszámítjuk annak a pontnak az y koordinátáját, amely a kör középpontja lesz:

-2y = 4

y = -2

Tehát a kör középpontja: O(-1; -2).

(x-u)² + (y-v)² = r²

u=-1 és v=-2

(x+1)² + (y+2)² = 7

2.

Határozd meg az x négyzet+y négyzet -2x=o kör és a 3x-y=o egyenes közös pontjainak számát!

x² + y² - 2x = 0

3x - y = 0

A metszéspontok meghatározásához megoldjuk az egyenletekből álló egyenletrendszert. Most azonban csak a megoldások számát kérdezi a feladat.

Először kifejezzük a másodikból az y-t.

y = 3x (1)

Azután behelyettesítjük a másik egyenletbe.

x² + (3x)² - 2x = 0

x² + 9x² - 2x = 0

10x² - 2x = 0

5x² - x = 0

Ez egy másodfokú egyenlet, ahol a=5, b=-1 és c=0.

Felírjuk a diszkriminánsát: D = b² - 4ac = 1 - 4·5·0 = 1.

Pozitív számot kaptunk, ezért az egyenletrendszernek két valós gyöke van. Ez azt jelenti, hogy a kör és az egyenes közös pontjainak a száma 2. (Metszik egymást.)

Kész.

De ki is lehet számítani ezeket a metszéspontokat.

10x² - 2x = 0

Kiemelünk 2x-et.

2x(5x - 1) = 0

Ez egy szorzat, és az egyenlet szerint ez a szorzat egyenlő nullával. Egy szorzat csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

a/ vagy 2x=0, és ekkor x = 0.

b/ vagy (5x - 1) = 0

Ebből 5x = 1, és x = 0,2

x₁ = 0 és x₂ = 0,2

Ezeket visszahelyettesítjük az (1)-be.

y₁ = 0 és y₂ = 0,6

A két metszéspont:

M(0; 0)

N(0,2; 0,6)