Hogy lehet ezt a feladatot megoldani?
Tudva, hogy x,y € R úgy, hogy x^2+y^2-x-3y+1,5=0
igazolt, hogy 0 ≤ x+y ≤4.
Az elején szorzattá kellene alakítani, de ez nem megy. Valaki tudna benne segíteni?
Nem szorzattá kell alakítani, hanem teljes négyzetté:
(x-0,5)^2 + (y-1,5)^2 = 1
Ezt rendezed x-re:
x = +-gyök(1-(y-1,5)^2) + 0,5
Ezt beírod x helyére az egyenlőtlenségben, és azt már meg tudod oldani.
x² + y² - x - 3y + 1,5 = 0 (1)
Az egyik nevezetes azonosság, két tag négyzete:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Csoportosítjuk a tagokat az (1)-ben. Az eredeti egyenlet bal oldalán x² - x és y² - 3y van, meg még 1,5 is, de az egyelőre nem fontos.
Külön vizsgáljuk az x² - x valamint az y² - 3y tagokat. a² + 2ab + b² alakú kifejezést szeretnénk, mert az (a+b)²-té alakítható.
x² - x = x² - 1·x = x² - 2·x·0,5
Látszik, hogy az (a+b)² = a² + 2ab + b²-beli 'b' itt 0,5 lesz, de az a² + 2ab + b²-ben szerepel még a b². Ez most 0,5² lesz. De 0,5² nem szerepel az (1)-es eredeti egyenletben, ezért ezt majd le kell vonni.
x² - x = x² - 1·x = x² - 2·x·0,5 = x² - 2·x·0,5 + 0,5² - 0,5² = (x² - 2·x·0,5 + 0,5²) - 0,5² = (x - 0,5)² - 0,25
Hasonlóan:
y² - 3y = y² - 2·y·1,5 = y² - 2·y·1,5 + 1,5² - 1,5² = (y - 1,5)² - 1,5² = (y - 1,5)² - 2,25
Visszahelyettesítünk az (1)-be:
(x - 0,5)² - 0,25 + (y - 1,5)² - 2,25 + 1,5 = 0
Összevonunk:
(x - 0,5)² + (y - 1,5)² - 1 = 0
És ezt kapjuk:
(x - 0,5)² + (y - 1,5)² = 1
Ha idáig sikerült eljutni:
"Nem szorzattá kell alakítani, hanem teljes négyzetté:
(x-0,5)^2 + (y-1,5)^2 = 1"
Akkor már nem kell x-re rendezni.
(x-0,5)^2<=1 és (y-1,5)^2<=1
x<=1,5 és y<=2,5
x+y<=1,5+2,5=4
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!