Egy rombusz oldalai 6.8cm-esek, egyik átlója 10.2 cm Mekkorák a szögek és a terület?

Nem kell máshogy, jól kell számolni. Nekem dettó ugyanaz jön ki a két módszerrel.

Legyen az oldalak hossza a, az adott átlóhossz f, a másik átló e, és az e-re eső csúcsnál levő szög α.

Pitagorasz-tétel és szinuszdefiníció:

(e/2)^2 + (f/2)^2 = a^2 --> e = gyök(4*a^2 – f^2),

T = f*e/2 = f*gyök(4*a^2 – f^2)/2 ≈ 45,877 cm^2.

(*) sin(α/2) = f/(2*a) --> α = 2*arccsin(f/(2*a)) ≈ 1,6961.

Koszinusztétel és szinuszos háromszögterület-képlet:

f^2 = 2*a^2 – 2*a^2*cos(α) --> cos(α) = (2*a^2 – f^2)/(2*a^2), (**)

α = arccos((2*a^2 – f^2)/(2*a^2)) ≈ 1,6961,

T = a^2*sin(α) = gyök(1 – cos(α)^2) = gyök(a^4 – (2*a^2 – f^2)^2/4) =

T = gyök(4*a^4 – 4*a^4 + 4*a^2*f^2 – f^4)/2 = f*gyök(4*a^2 – f^2)/2 ≈ 45,877 cm^2.

A másik szöget hagy ne részletezzem.

Ha a (**) képletben használjuk a cos(2*x) = cos(x)^2 – sin(x)^2 azonosságot x = α/2 helyettesítéssel, akkor:

cos(α/2)^2 – sin(α/2)^2 = 1 – f^2/(2*a^2),

f^2/(2*a^2) – sin(α/2)^2 = 1 – cos(α/2)^2 = sin(α/2)^2,

sin(α/2) = ±f/(2*a),

mivel 0 < α/2 < π, ezért csak a +-os a releváns, ami pontosan a (*) képletet adja, tehát nem csak körülbelül, hanem egzaktul ugyanaz az α jön ki, mint a Pitagorasz-tételes megoldásban.

Szóval csak annyi történt, hogy nem figyeltél oda, és elszámoltál valamit. Ilyenkor általában segít, ha újra átszámolod elölről, főleg ha ennyire rövid a számolás.