Meg tudnátok oldani az alábbi feladatot? Adott k (x+1) ²+ (y-3) ² =9 T[-1;6]. Írd le a t érintő egyenletét a T érintési pontban

A kör középpontja C(-1;3). Írjuk fel a CT vektort: (0;3), ez a vektor egybeesik a kör sugarával (lévén a középpontot köti össze a körív egy pontjával). A sugárról tudjuk, hogy merőleges az érintőre, vagyis az előbb kiszámolt CT vektor is, így viszont az egyenesnek normálvektora.

Így már nem más a kérdés, mint felírni annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad a T(-1;6) ponton és normálvektora (0;3). Ezt már meg tudod oldani?

Csináltam a feladathoz egy munkalapot:

[link]

Remélem, így meg tudod oldani!

Nagyon túlbonyolítjátok a feladatot, pedig egy óvodás is ránézésre látja, hogy a kör középpontja K=(-1,3), sugara pedig R=3.

A megadott pont pedig épp a középppont felett van sugárnyi távolsága. A keresett érintő meredeksége tehát zérus, azaz y=b alakú, ahol b=2R. Tehát y=6, x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete adja az érintőt.

Mellesleg ha nem ilyen speciális helyzetű a pont, akkor is jóval egyszerűbb megoldás létezik, mint amit a #1 válaszoló összehordott...

Mellesleg a #1 válaszolótól még várom az integrálegyenlet-rendszer megoldását, amit bizonyára már három napja számol, úgy látszik sikertelenül, pedig az a példa is csak óvodásszintű.

#2 meg kör helyett ellipszist rajzolt. Nevetséges.

#2 vagyok.

Érdekes módon, én az x-es tag előtt látok egy k szorzót. Lehet, hogy nem jól látom?

Nem tudom, hogy mellesleg kitől mit vársz, nyilván valakivel összekeversz.

Valóban megoldható úgy is, ahogyan leírtad, de nem tudom, hogy mit gondolsz túlbonyolításon az én megoldásomban. Érdekelne, hogy általános helyzetben te hogyan oldanád meg könnyebben. Én úgy oldottam meg, hogy egy, már korábban tanult anyagra vezettem vissza.

Valószínűleg az nem egy k szorzó akar lenni, hanem az az alakzat "neve", mint ahogyan az egyeneseket is e,f,g... betűvel szoktuk nevezni, a köröket stílszerűen k1, k2, ... jelöléssel szokás ellátni. Ha esetleg mégis szorzó lenne, akkor máshogyan kell megoldani.

#4: "Érdekes módon, én az x-es tag előtt látok egy k szorzót. Lehet, hogy nem jól látom?"

Hát jól látod, én azt úgy vettem számba, ahogy a #5 válaszoló is mondja, vagyis hogy egy kör egyenlet megadását úgy szokás jelölni.

A geogebrán adott grafikus megoldásod szép egyébként, látszik, hogy k változtatásával a síkgörbék hogyan változnak.

Hogy kvittek legyünk, megadom az analitikus megoldási eljárás gondolatmenetét (kiegészítve a te grafikus megoldásodat) a k szorzó beszámításával, hátha a kérdezőnek is hasznos.

1. felírjuk a görbe egyenletét.

2. Az érintő egyenletét y=m*x+b alakban keressük.

3. Behelyettesítjük az érintő egyenletét a kör egyenletébe, ekkor egy f(x, b,m)=0 alakú algebrai egyenletre jutunk, amely m-ben másodfokú lesz.

4. m-et tekintve ismeretlennek felírjuk a diszkriminánst.

5. Érintőnél a másodfokú egyenletnek többszörös gyöke van, így a diszkrimináns=0 egyenletből meghatározzuk m-et, amely most b-től, k-tól függ.

6. Ebből két m fog kijönni, legyenek ezek m1, és m2.

7. m1 és m2-őt visszaírjuk az érintő egyenletébe. Tehát így két érintő egyenletünk lesz. (a szimmetria miatt nem meglepően).

8. A kapott két érintő egyenlete függ még mindig k-tól és b-től. A megadott pont y koordinátáját visszaírjuk a 2 érintőegyenletbe. Az egyik egyenletnek nem lesz megoldása, a másikra megkapjuk b-t.

9. Így tehát felírhatjuk az érintő egyenletét, mert b is ismert szám, és a meredekség is. A k paraméter megmarad.

"Nem tudom, hogy mellesleg kitől mit vársz, nyilván valakivel összekeversz."

Előfordulhat, ez esetben bocs. (Csak a 74%-ból következtettem).

"nem tudom, hogy mit gondolsz túlbonyolításon az én megoldásomban."

Azt, hogy miért kell bevezetni bonyolult normálvektorokat, mikor geometriailag ránézésre lehet látni (a megadott pont speciális helyzetet miatt) a megoldást.

"Érdekelne, hogy általános helyzetben te hogyan oldanád meg könnyebben. Én úgy oldottam meg, hogy egy, már korábban tanult anyagra vezettem vissza."

Például határozzuk meg a P=(0, 3+gyök8) pontban az érintőt.

A kör középpontján és a megadott ponton áthaladó egyenes meredeksége könnyen láthatóan m=gyök8. Az érintő erre merőleges, ezért annak meredeksége ennek negatív reciproka, mivel m véges volt. Azaz M=-1/m=-gyök2/4. Tekintve hogy ennek x=0-ban 3+gyök8-at kell adnia, ezért az eltolási faktor 3+gyök8 lesz. Tehát az érintő a P pontban az y=-(gyök2/4)*x+3+gyök8 egyenlettel adható meg.

Nem egészen látom, hogy ez miért egyszerűbb, illetve hogy ehhez képest miért bonyolultabb az én megoldásom, de ízlések és pofonok.

Nagy átlagban, szerintem, el lehet mondani, hogy a meredekséggel nem nagyon számolnak, pláne nem ilyen feladatokban, és a meredekségek közötti összefüggést is az irányvektor-normálvektor viszonyából szokás levezetni. És, ha már a kör egyenletével dolgoznak, felteszem, hogy az egyenes egyenletével elboldogul a kérdező.

"Nem egészen látom, hogy ez miért egyszerűbb, illetve hogy ehhez képest miért bonyolultabb az én megoldásom, de ízlések és pofonok."

Nem kell vektorokkal számolni, de még képletet sem kell tudni hozzá, mert magától értetődő a meredekséges megoldás.

"Nagy átlagban, szerintem, el lehet mondani, hogy a meredekséggel nem nagyon számolnak"

Hát ez nagy baj...

"a meredekségek közötti összefüggést is az irányvektor-normálvektor viszonyából szokás levezetni."

Anélkül is le lehet vezetni.