Mekkora munkavégzéssel lehet egy 1200kg tömegű autót 100km/h-ra gyorsítani?

Mekkora sebességről? Amúgy munkatétel:

W = ΔEm = m*v1^2/2 - m*v0^2/2 = m/2*(v1^2 - v0^2) = ...

Definíció szerint

W = |F| * |s| * cos(Ł), de feltételezem, hogy az erőhatás párhuzamos az elmozdulással, ekkor Ł=0°, így cos(0°)=1, ezért

W = |F| * |s|, az egyszerűség kedvéért hagyjuk el a ||-et.

W = F * s, tudjuk, hogy F=m*a, így

W = m * a * s, és azt is, hogy a=s/t^2, tehát

W = m * s/t^2 * s, összeszorzás után

W = m * s^2/t^2, itt használjuk a hatványozás azonosságát:

W = m * (s/t)^2, ahol történetesen s/t=v, így

W = m * v^2

Itt már csak be kell helyettesíteni m és v helyére a megadottakat, azonban váltsuk át a km/h-t m/s-ra; 100 km/h = 250/9 m/s, így

W = 1200 * 250/9 = 100.000/3 Joule

Ha esetleg mégsem 0°-os szöget zárnának be a vektorok, akkor

W = 100.000/3 * cos(Ł), ekkor Ł-tól függ a munkavégzés mértéke.

> „ahol történetesen s/t=v”

Ami történetesen legfőképpen egyenletes mozgásra igaz, vagy csak az átlagsebességre.

> „tudjuk, hogy […] és azt is, hogy a=s/t^2”

Ami szintén igaz lehet valamilyen mozgásra, de nem az egyenletesre.

A végeredmény sem stimmel.

Ha feltételezzük, hogy egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgással álló helyzetből éri el az autó a megadott sebességet, akkor a levezetés helyesen:

A rá ható állandó eredő erő, amelynek irányába elmozdul:

F = m*a,

v sebességgel t = v/a idő múlva fog mozogni,

ezalatt

s = a/2*t^2 = a/2*v^2/a^2 = v^2/(2*a) utat tesz meg.

A végzett munka tehát

W = F*s = m*a * v^2/(2*a) = m*v^2/2.

(De a munkatételre hivatkozni egy fokkal egyszerűbb és általánosabb. Szerintem.)

> „Ha esetleg mégsem 0°-os szöget zárnának be a vektorok, akkor W = 100.000/3 * cos(Ł), ekkor Ł-tól függ a munkavégzés mértéke.”

Szóval azt mondod, hogy ha Ł = 90°, akkor 0 munkavégzéssel is felgyorsíthatunk egy 1,2 tonnás autót 100 km/h-ra?

(Nem mintha nagyon szét akarnálak szedni, csak az elvi tévedéseket jobb tisztázni. BTW a négyzetre emelésről is elfelejtkeztél a behelyettesítésnél…)

A #1 válasz a legjobb, azaz a munkatételes módszer.

A példa megoldható kinematikailag kiindulva is, de amint látható, több egyszerűsítő feltevéssel is él a válaszadó. Konkrétan a négyzetes úttörvényt tekinti.

De a munkatétel ennél sokkal általánosabb, mert nem a négyzetes úttörvény szerinti mozgástörvényre is igaz!

A négyzetes úttörvény csak azért kellett, mert azt biztos tanulta a kérdező, nem kellett hozzá „bonyolult” integrál. A munkatétel levezetése amúgy:

Definíció, az A és B pontok között az F erő által végzett munka:

W_AB = ∫(A,B) F*dr (az F vonalmenti integrálja a pálya A és B pontja között).

Definíció, egy test sebessége:

v = dr/dt --> dr = v*dt.

Newton II. törvénye, ha F az eredő erő:

F = m*a = m*dv/dt.

Szóval az eredő erő munkája:

WAB = ∫(A,B) F*ds = ∫(tA,tB) m*dv/dt * v*dt = ∫(vA,vB) m*v*dv = m*vB^2/2 – m*vA^2/2 = ΔEm.

Ami nem hosszabb levezetés, mint amit az egyenletes gyorsulásnál csináltunk, és gondolatmenet szempontjából is analóg, csak fogalmilag több dolog kell hozzá (vonalmenti integrál, vektorok skalárszorzata,…).

"A négyzetes úttörvény csak azért kellett, mert azt biztos tanulta a kérdező, nem kellett hozzá „bonyolult” integrál. "

Tudom, de attól függetlenül még az azzal történő levezetés

a mindenkori általánosság megszorítását jelenti.

Bár igazolni azt, hogy a négyzetes úttörvény és egy tetszőleges mozgástörvény ugyanarra vezet, nehézkes.

A munkatétel végképlete pedig középiskolában is ismert, ha a levezetés nem is.

Ha pl. egy matematikai inga adott egy merev, L hosszú súlytalan rúddal, m tömeggel a végén, akkor adott két pozíció között (hacsak az nem speciális) a gravitációs erő által végzett munka alígha kiszámítható középiskolás módszerekkel a munkatétel nélkül.

Merthogy az nyílván nem követi majd a négyzetes úttörvény, sőt a leíró mozgásgyenletnek (ha fel tudná írni egyáltalán a kérdező) mégcsak analitikus zárt alakú integrálja sem lenne.