Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ
Főoldal Belépés/Regisztráció Egy véletlen kérdés Facebook






Kategória: Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések

A kérdés

Ha meg kell találnom egy többváltozós függvény szélsőértékeit, akkor megkeresem a stacionárius pontokat úgy, hogy a parciális deriváltakat egyenlővé teszem nullával, majd a Hesse-mátrixnak megnézem a definitségét. (többi lent)?

A kérdésem az, hogy miért elég az a feltétel, hogy a parciális deriváltak 0-k legyenek? Honnan tudom, hogy az stacionárius pont? Miért nem az a feltétel, hogy az összes iránymenti derivált 0? pl. : konkrétan kétváltozós esetben amikor stacionárius pontot keresek, akkor két parciális deriváltat teszek egyenlővé 0-val, tehát két irány mentén nézem meg a többváltozós függvény meredekségét. Az a kérdésem, hogy miért elég ennyi feltevés? Miért nem az összes iránymenti deriváltat nézzük meg?

Keress kérdéseket hasonló témákban: matematika, szélsőérték, optimum, minimum, maximum, Lagrange, analízis

  jún. 18. 11:21  Privát üzenet  

A válaszok
1 2
Mert ez a stacionárius pont definíciója, ami csak egy segédfogalom a szélsőérték kereséshez, hogy szűkítse a kört, hol lehet szélsőérték. Hogy tényleg szélsőérték-e, ahhoz valóban vizsgálni kell mást is, lásd a Hesse-mátrix definitsége, ami lényegében pont az, amit írsz az összes irányról. (Ha szemidefinit, akkor az is inkonklúzív.)

A válaszíró 86%-ban hasznos válaszokat ad.
# 1/18Időpont jún. 18. 11:37 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
A kérdező kommentje:

Akkor a stacionárius pont definíciója az az ,hogy oylan pont a stacionárius pont, ahol az összes parciális derivált 0?...mert akkor így világos...mert eddig azt hittem, hogy ha minden irányba (nem csak a tengelyek menti irányokba) 0 a deriváltja, akkor azt a pontot nevezik stacionárius pontnak...Tehát minden olyan pont, ahol az összes iránymenti derivált 0 stac pont, de ami stacpont, ott nem feltétlen minden iránymenti derivált 0 (de, a parciálisak biztosan azok)?

# 2/18Időpont jún. 18. 12:23 Privát üzenet
Jap.

A válaszíró 86%-ban hasznos válaszokat ad.
# 3/18Időpont jún. 18. 12:48 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

Nem. A stacionárius pont(ok) egy töbváltozós skalárfüggvény esetén azok a pontok, ahol a gradiensvektor zérusvektort ad. Ha meggondolod, a grad = 0 feltétel gyakorlatilag azt jelenti, hogy a változók irányába vett iránymenti derivált zérus.


Ami nyílván nem ölégséges pl. egy minimumhelyhez. Mert ha grad = 0, attól lehet pl. a vizsgálandó pont ún. hiperbolikus típusú (nyeregfelület) is.


Ha az egyváltozós esetet tekintjük analogonként, ott is indokolt mindig a második differenciálhányados megvizsgálása, mert avval dönthető el, hogy extremum pont -e az adott hely, vagy inflexió.



A válaszíró 65%-ban hasznos válaszokat ad.
# 4/18Időpont jún. 18. 12:58 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
A kérdező kommentje:

De akkor mit mondtam rosszul?

# 5/18Időpont jún. 18. 19:34 Privát üzenet

Semmit, csak ennél a válaszadónál megint kijött az olvasási/szövegértési vagy a szociális „szóljunk be mindenkinek” fogyatékosság (esetleg csak nem gondolta át teljesen és kicsit elhamarkodott választ adott); de szerencsére most kivételesen nem írt szakmai hülyeségeket, mert ugyanazt írta le, mint mi is, viszont az egy szinttel bonyolultabb fogalmak alkalmazásához még mindig ragaszkodott.

Szóval nem érdemes vitatkozni vele, egyrészt mert kivételesen a lényeget tekintve igaza van; másrészt mert olyankor egyre több és több hülyeséget ír, hogy elterelje a figyelmet az eredeti hülyeségéről, és a következő oldalon már 3 oldalas válaszokat kell írni, ha pontonként cáfolni akarjuk.



A válaszíró 86%-ban hasznos válaszokat ad.
# 6/18Időpont jún. 18. 19:56 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

"mert eddig azt hittem, hogy ha minden irányba (nem csak a tengelyek menti irányokba) 0 a deriváltja, akkor azt a pontot nevezik stacionárius pontnak..."



Hát igen, ezt hitted rosszul, de ha már tudod, hogy nem így van, az helyes.


Egyéb: Tekintsünk az f: (x,y)-> f(x,y) kétváltozós skalárfüggvényt, amely R^2-ből R-be képez, továbbá legyen x0=0 és y0=0 esetén a P(x0,y0) stacioner pont.


Vezessük be az x=u*cos(v), y=u*sin(v) koordinátatranszformációt, ezzel a g(u,v) kétváltozós függvényhez jutunk.

Számítsuk ki a gradiensvektort:


grad(g)=(Dg/du, Dg/dv).


Ez a fajta transzformáció igen szemléletes megragadása annak, hogy a vizsgált pont jellege elliptikus, hiperbolikus vagy parabolikus típusú.


Ugyanis ha az a speciális eset lép fel, hogy a h=Dg/du és k=Dg/dv jelölésekkel élve:


h: u->h(u) ill. k: u->k(u) akkor a stacionárius pont az általad is említett speciális lesz, hiszen minden irányban vett parciális derivált azonos, azaz f reprezentációja az (x,y) sík fölött radiálszimmetrikus.


(Mintha egy nyugvó sík vízfelszínre ráejtenél egy kavicsot, és a hullámok szimmetrikusan terjednek...)


Remélem világos, és ez a szemlélet egyfajta geometriai felfogása az egész iránymenti deriváltnak, amit egyébként az egyetemen a hallgatók 90% nem szokott érteni.



A #6-nak meg nem tudom mi a problémája.


Szerencsére nem vagyok abban a helyzetben, hogy bárkinek is bizonygatnom kéne a tudásom.



A válaszíró 65%-ban hasznos válaszokat ad.
# 7/18Időpont jún. 18. 20:38 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
Baluba nevű felhasználó válasza:

Igazad van, azt keressük, amikor az összes iránymenti derivált 0. De ha a függvényünk deriválható, akkor ennek elégséges feltétele a dimenziószámnak megfelelő, független vektorok menti derivált 0-sága. Az egyszerűség kedvéért a triviális bázis, azaz a tengelyek irányában vett deriváltakat nézzük.

A válaszíró 73%-ban hasznos válaszokat ad.
# 8/18Időpont jún. 19. 20:40 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

"De ha a függvényünk deriválható, akkor ennek elégséges feltétele a dimenziószámnak megfelelő, független vektorok menti derivált 0-sága."


Ez baromság! Ez nem elégséges feltétel, hanem szükséges. Ha laikus és tudatlan vagy a témában, akkor ne terjeszd a butaságodat. Mellesleg olvass vissza, épp azt taglaltam én is, ill. egy másik hozzászóló is, amit te lusta voltál elolvasni, és a tudatlanságodat ezért idehánytad...



A válaszíró 65%-ban hasznos válaszokat ad.
# 9/18Időpont jún. 19. 23:00 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

Amúgy csak szólok, hogy mi írtunk hülyeséget, a 20:40-es válaszadónak van igaza. Ha az összes iránymenti derivált 0, akkor ugye abból nyilvánvaló, hogy grad(f) = 0; viszont fordítva is igaz, mert egy v vektor irányában az iránymenti derivált ugye a gradiens és a v (illetve v/|v|) skalárszorzata, és mivel stacionárius pont esetén grad(f) = 0:

v*grad(f) = v*0 = 0.


De az továbbra is áll, hogy az összes iránymenti derivált zérus volta nem elégséges feltétele, annak, hogy ott szélsőértéket vesz fel a függvény, kell vizsgálni a Hesse-mátrixot a stacionárius pontokban.


Szóval a korábbi tévedések:

> „a Hesse-mátrix definitsége, ami lényegében pont az, amit írsz az összes irányról”

Nem az, egész más. Már az 1D esetben is látszik, hogy ez nem igaz, ha kicsit belegondolunk.


> „Tehát minden olyan pont, ahol az összes iránymenti derivált 0 stac pont, de ami stacpont, ott nem feltétlen minden iránymenti derivált 0 (de, a parciálisak biztosan azok)?”

Nem.


> „Hát igen, ezt hitted rosszul,”

Nem csak ezt. (Amúgy örülök, hogy felismerted a múltidőt, még ha csak másodjára is, bár általános iskola 2. osztályos anyag, az emberek 99% már oviban tudja használni az anyanyelvén.)

> „h: u->h(u) ill. k: u->k(u) akkor a”

Itt az akkort megelőző első tagmondatból kimaradt az állítmány, ami sajnos nem csak nyelvtani, hanem súlyos matematikai hiba is. Így elég kevés értelme van annak, amit egy oldalon keresztül próbáltál magyarázni.

> „A #6-nak meg nem tudom mi a problémája.”

Ez is csak szerény értelmi képességeidet jellemzi…

> „Szerencsére nem vagyok abban a helyzetben, hogy bárkinek is bizonygatnom kéne a tudásom.”

Akkor minek erőlködsz? Leírtál egy csomó jelölést, de a végén egy állítást se sikerült. Pedig lett volna lehetőséged átolvasni akár a saját hozzászólásodat is, és akkor egyből kibukik a hiba. Csak arra vártam, hogy hátha megteszed.

> „Ez baromság! Ez nem elégséges feltétel, hanem szükséges. Ha laikus és tudatlan vagy a témában, akkor ne terjeszd a butaságodat. Mellesleg olvass vissza, épp azt taglaltam én is, ill. egy másik hozzászóló is, amit te lusta voltál elolvasni, és a tudatlanságodat ezért idehánytad...”

Pontosan az ilyen jellegű megnyilvánulásaiddal van problémám, meg hogy ha egyszer megvezet valami, akkor utána ahelyett, hogy újra végig gondolnád, fullba tolod a kretént. A 20:40-es válaszadó nem minősítette, amit te alkottál, csak leírta az igaz állítást. Te ilyesmire képtelen vagy, és személyeskedéssel próbálod megoldani a vitáidat.

Amúgy az szép, hogy a hatalmas tudásod (még egyszer: inkább tényleg ne bizonygasd, elhiszem) ellenére milyen könnyen meg lehet téged vezetni, még ha nem is szándékosan csináltam, és én is figyelmetlen voltam, mikor az első hozzászólásomat írtam.



A válaszíró 86%-ban hasznos válaszokat ad.
# 10/18Időpont jún. 19. 23:44 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
1 2

Értesítsünk róla, ha új válasz érkezik? Válasz küldése



Kapcsolódó kérdések
Stacionárius pont kiszámítása, hogyan?
Mikor lesz egy kétváltozós függvény egy adott területen konstans?
Melyek azok a halmazok, amelyeknek pontosan három határpontjuk van?
Hogyan határozhatók meg a következő függvények szintfelületei?
Legyen f (x, y) = x^2 + y^2, ha x*y nem nulla és f (x, y) =0 különben. Differenciálható-e f az origóban?
Nyílt-e, zárt-e a H = { (x, y) ∈ R^2: 0 < x < 1, y = 0} halmaz a síkon?

Kérdések a Közoktatás, tanfolyamok rovatbólKérdések a Házifeladat kérdések rovatból








Minden jog fenntartva © 2018, www.gyakorikerdesek.hu | GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Sitemap | WebMinute Kft. | Kapcsolat: info (kukac) gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!