Helyes az alábbi megoldás?
A feladat: igazold, hogy a^4+b^4+c^4 >= abc(a+b+c)! a,b,c € R
a^4+b^4+c^4 >= a^2bc+ab^2c+abc^2
Ezt szétszedve:
a^4 >= a^2bc
a^2 >= bc
Ezt a folyamatot megismételve:
a^2 >= bc
b^2 >= ac
C^2 >= ab
---------
a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ac // ez itt könnyen
igazolható
válasza:Teljesen rossz. Egy összeget nem szedhetsz szét.
Nézzünk egy konkrét példát:
a=1,
b=2,
c=3
Ez máris nem igaz:
a^4 >= a^2bc
1 < 6
válasza:Fordítva bizonyítottad;
az igaz, hogy ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d, de fordítva, vagyis ha a+c>b+d, akkor nem feltétlenül igaz, hogy a>b és c>d, például ha 1+5>2+3, akkor 1>2 nem igaz.
A feladatban is lehet konkrét ellenpéldát konstruálni a bizonyításodra, például ha a=1, b=1 és c=10, akkor azt kapod, hogy
1^4 >= 1^2*1*10, vagyis 1>10, értelemszerűen ez nem igaz.
Nem tudom, hogy akarsz-e tippet a bizonyításhoz; ha nem, akkor ne olvasd tovább.
A számtani-mértani közepek közti összefüggést kellene hasznosítani.
Annyit csináltam, hogy a^2 helyére x,
b^2 helyére y, c^2 helyére pedig z-t írtam.
Átírtan az egész egyenlőtlenséget ilyrn formába.
válasza:a=0;b=0;c=0-ra triviális.
Osszunk le (a^2)*(b^2)*(c^2)-el.
Utána vesszük mindkét oldal reciprokát.
Ezután a harmonikus közép segítségével lehet tovább haladni.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!