Hogyan kell megoldani a következtető matek feladatokat?

Ez tipikus teleszkópikus sor, szumma k=1-től n-ig 1/[k(k+1)]látjuk ránézésre.

Írjunk föl u.is néhány tagot:

k=1-re: (1/1 - 1/2)

k=2-re: (1/2 - 1/3)

k=3-ra: (1/3 - 1/4)

k=n-1-re: 1/(n-1)-1/n

k=n-re: 1/n-1/(n+1)

Ebből látszik, ha összeadogatunk, akkor egy tetszőleges 1<p<=n tag első tagja kiüti a p-1. tag második tagját.

így gyakorlatilag az összegben csak a legelső és a legutólsó tag marad, azaz

1/1-1/(n+1), amit közös nevezőre hozva valóban

n/(n+1) adódik. Érthető?

(1/1 - 1/2)+(1/2 -1/3)+...(1/n - 1/(n+1))=1/1 - 1/(n+1)=n/(n+1)

Teleszkópos összegnek neveztük mikor én voltam diák.

Először is megnézed valamilyen kezdőtagra, például n=0-ra nem igaz, n=1-re már igaz lesz, mivel 1/(1*2)=1/2=1/(1+1).

Tegyük fel, hogy n-ig igaz, most nézzük n+1-re, ekkor a bal oldalon felírjuk a soron következő tagot, a jobb oldalon pedig n helyére n+1-et írunk:

[(1/1*2)+(1/2*3)+...+(1/n(n+1))] + 1/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2)

A szögletes zárójelben az indukciós feltevés miatt n/(n+1) van, így:

n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2), könnyedén látható, hogy (n+1)(n+2) közös nevező lesz:

(n(n+2))/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)) = ((n+1)(n+1))/((n+1)(n+2)), vagyis

n(n+2) + 1 = (n+1)(n+1), zárójelbontás után

n^2+2n+1 = n^2+2n+1, és ez triviálisan igaz.

Az előző gyümölcsös hasonlata nagyon tetszett:

1/1 - 1/2)=1/2

(1/2 -1/3)=1/6=1/2*3

...

(1/n - 1/(n+1))=(n+1)/n-n/(n+1)=1/(n+1)

1/1 - 1/2)+(1/2 -1/3)+...(1/n - 1/(n+1))=1/1 - 1/(n+1)=n/(n+1)

A 2. feladathoz:

Vegyünk 10 számot: a1, a2, .... a10

Írjuk fel az alábbi 10 összeget:

a1

a1+a2

a1+a2+a3

....

a1+a2+....+a10

Ekkor ha mind különböző számjegyre végződik, akkor van amelyik 0-ra végződik, mivel 10 lehetőség van.

Ha nem mind különböző, akkor amelyik kettő egyforma végű, azokat vonjuk ki egymásból. A konstrukció miatt a különbség is néhány szám összege lesz, és 0-ra fog végződni.

"Az előző gyümölcsös hasonlata nagyon tetszett"

Kár hogy törölték. Most már ezen az oldalon is a népbutítás a cél. A jó válaszok törlődnek, a rosszak megmaradnak. Sajnos ezen már nem tudok segíteni.