Tükrözzük az y=x^2 parabolát az (1;1) pontra. Mi az egyenlete?

-(x-2)^2 + 2

Ábrázolva:

[link]

Jó az, amit a 2-es rajzolt. Centrikus tükrözésről van szó.

Ez alapjában véve visszavezethető tengelyes tükrözésre is, ahol a tükröző tengely jelen példában épp a parabola érintője az (1,1) pontban. Az érintő meredeksége egyébként 2.

Tükrözni lehet pontra (középpontos vagy centrális tükrözés), egyenesre (tengelyes tükrözés) és síkra is (ha 3D-ben vagyunk).

Síkban a középpontos és a tengelyes tükrözés nem tud ekvivalens lenni, tehát általában nem igaz, hogy egy adott pontra tükrözés megfelel egy bizonyos egyenesre való tükrözésnek. (Speciális esetben lehet: pl egy egyenest középpontosan tükrözve az egyenes egy pontjára vagy azon a ponton átmenő merőleges egyenesre ugyanazt kapjuk.) Ennél a példánál az érintőre tengelyesen tükrözött parabola nem lesz ugyanaz, mint a középpontosan tükrözött parabola.

"Ennél a példánál az érintőre tengelyesen tükrözött parabola nem lesz ugyanaz, mint a középpontosan tükrözött parabola."

Ez akár igaz is lehet, nem írtam fel az egyenleteket, csak geometriailag gondolkodtam.

Állításod alá is tudnád támasztani a konkrét feladat kapcsán?

#6

Ez tényleg igaz, mindig tanul valamit az ember. Átgondolva, az érintőre tengelyesen tükrözött parabola valójában el is forgatódik.

A feladat kiterjesztése lehetne, az adott tükrözési ponton átmenő egyenes meredekségének meghatározása, amely tengelyesen tükrőző egyenes.

Bár előbb be kéne látni, hogy létezik -e ilyen, ill. milyen speciális esetekben.

Ha már unatkozok megadom:

f'(x^2) = 2x, és (1;1) pont miatt az ottani meredekség: m = 2

y = mx + b -> (1;1) pont biztos rajta van, így: 1 = 2*1 + b, ebből a b = -1.

Így az (1;1) ponton átmenő érintőegyenes egyenlete: y = 2x - 1

És látható hogy tengelyesen nem szimmetrikus a két parabola ezen egyenesre: [link]

8-as: Szép megoldás, tetszik.

Ebből az is látszik, hogy nem létezik tükrözőegyenes a jelen példánál, amelyre való tükrözés ekvivalens lenne a középpontos (centrikus) tükrözés eredményével.

Az persze nyitott kérdés lehet továbbra is, mely speciális esetekben, azaz mely f: x->f(x) függvény képére teljesül, hogy létezik tükrözőegyenes, amely a centrikus tükrözéssel ekvivalens.

Mellesleg ami még látható: Létezik tetszőleges g: x->g(x) függvény képére vonatkozóan valamely Q(xt,yt) pont, amely körül 180°-os elforgatás útján a kívánt görbe előáll.

(Ez persze nem véletlen, definícióból adódik).