Ezt a feladatot hogy lehet megoldani?

Szögfüggvényekből. Remélem tanultátok, ha nem akkor utánanézel.

Ez a példa igazából egy nagyon unalmas mechanikusan végezhető számolással megoldható. Szögfüggvények kellenek!

Megoldható koordináta geometriával is.

A négyzet sarkai (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)

E(1/2, 0)

F(1, 1/2)

BF egyenes metszéspontját keressük AE illetve AC egyenesekkel így kijön X és Y pont.

Nem túl bonyolult felírni a 3 egyenest és kiszámolni a metszéspontjaikat.

Ezután, ahogy előttem írták kell még a két kisháromszög területe:

A BEX terület BE*magasság/2

A magasság X-nek az y koordinátája.

FCY területe FC*magasság/2

A magasság 1-(Y-nak az x koordinátája)

Szerintem csak háromszögek területében kell gondolkozni:

[link]

Jó, de a T/12 és T/20 hogy jön ki, mert se számomra se az előző válaszoló számára nem látszik ránézésre.

Ha az egyeneseket felírom, akkor kijön a kis háromszögek magassága, de ránézésre nem látom, hogy mekkorák a piros csíkok.

Látom, elég nehezen akar kigömbölyödni az eredmény. Nézzük az én megoldásom:

A BC és a BF egyenesek szögét jelöljük a-val, ekkor felírható hogy:

tg(a)=1/2.

Az AE és BF egyenesek metszéspontját jelölje G.

Ekkor fel lehet írni hogy GE=15*sin(a) és GB=15*cos(a).

A BEG háromszög egyébként derékszögű, ez látható, így annak területe:

T_BEG=GB*GE/2=(225/2)*sin(a)*cos(a)=(225/4)*sin(2a).

Namost ezek után van egy trigonometriai azonosság, amit az ember kb. 5 évente használ egyszer:

sin(2a)=2*tg(a)/{1+[tg(a)]^2}

Ezt fölhasználva:

T_BEG=(225/4)*2*tg(a)/{1+[tg(a)]^2} adódik.

Mivel tg(a)=1/2 volt, ezért T_BEG=45 cm^2 adódik.

Most jön a következő háromszög: az AC és BF szakaszok metszéspontját jelölje H.

Namármost mi azt szeretnénk tudni, hogy a BH szakasznak a BC egyenesre eső merőleges vetülete mekkora. Legyen ez x0. Ha ezt u.is tudjuk, akkor nyert ügyünk van, mert az m=30-x0 érték a CHF háromszög területszámításánál felhasználható magasságként.

Én ezt koordináta geometriával határoztam meg, az tűnt legegyszerűbbnek:

A BF szakaszt tartalmazó egyenes egyenlete: y=(1/2)*x.

Az AC szakaszt tartalmazó egyenes egyenlete: 30-x.

Az egyenletrendszert megoldva x0=20cm.

Ezért m=10cm.

Tehát a HFC háromszög területe:

T_HFC=15*10/2=75 cm^2.

Most már közel vagyunk nagyon a végeredményhez, mert a BCF háromszög területe a teljes négyzetnek épp negyedrésze, azza 225 cm^2.

Tehát ebből kell levonni a BEG és a HFC háromszögek területét. Ezzel az ECHG keresett négyszög területe:

T_ECHG=225-45-75

T_ECHG=105 cm^2.

Remélem érthető a levezetés.

Ha amúgy kiszámítjátok hogy 45/900 és 75/900 akkor tényleg kijön az 1/20 és 1/12 arány.

Nem nagy szám a szögfüggvének ismerete, önállóan is megtanulhatod.

Mellesleg a Kömal példasorok mindig nehezebbek az átlagosnál.

Ha a tanár adta fel a példát, bizonyára kihívásként tette, hogy ki mennyi munkát képes belefektetni a példába.

De mondom, a szögfüggvényeket nyugodtan tanuld meg előre, mert csak egy derékszögű háromszög ismerete kell hozzá, semmi más.

Legalább előnyben leszel.

Persze ne a betűket tanuld meg, hogy a/c meg b/c stb.

Azt tanuld meg, hogy

sin=szöggel szemben lévő befogó osztva az átfogóval.

cos=szög mellett lévő befoógó osztva az átfogóval.

tg= sin osztva cos-al.

ctg=1/tg.

Van még sec, cosec, ami a cos meg a sin resiprokai, de azt főleg angol szakirodalmak használják, így azt elsőre nem kell megtanulnod.

Az első hármat tanuld meg, sinus, cosinus, tangens, ezekkel elég jól el lehet boldogulni, ha érti az ember.

"Azt nem írtam, hogy most leszek 9.-es, szóval az ilyen sin, cos, tan és egyebeket még nem tudom. Csak azt nem értem hogy az új iskolám hogy gondolta hogy ilyesmi lesz az év eleji szintmérő?"

Ez nettó ostobaságnak tűnik.

A 9-es Arany Dániel matekversenyen még a hasonlóságot se várják el, mert az későbbi anyag. Pedig hasonlságot tanítanak 8-ban is.

A geometria feladatok olyanok, hogy hasonlóság nélkül is megoldható, de sokszor hasonlósággal jóval egyszerűbb.

Amiket belinkeltél nem 9-es feladatok, pláne nem 8-os. Persze 1-2 azért megoldható mélyebb ismeretek nélkül is.