Helyes a megoldásom?

Nem sikerült megértenem, hogy mit csinálsz.

Alapvetően nem hiszem, hogy ilyen eszközökkel egy ilyen típusú diofantoszi egyenlet megoldható lenne.

Na, ez legalább úgy hangzik, mint egy bizonyítás.

A y^3+1 értékről látod be, hogy két egymást követő négyzetszám közé esik (szigorúan) így nem lehet négyzetszám, azaz nem lehet x^2=y^3+1?

Melyik ez a 2 négyzetszám?

Az "Ugyebár" sor fölött még minden rendben van a megoldásoddal, de az "Ugyebár" melletti egyenlőtlenség nem igaz. Ott ugyanis azt mondod, hogy (y+1)² ≥ y³+1 ≥ y², de ennek az eleje ((y+1)² ≥ y³+1) nem teljesül y>2 esetén.

Pl. így lehet megoldani:

y³ = (x-1)(x+1)

A jobb oldali tényezők legnagyobb közös osztóját nevezzük g-nek. Ez osztja a tényezők különbségét is, ami (x+1)-(x-1)=2. Vagyis g=1 vagy g=2 lehet csak.

a) g=1

Vagyis x-1 és x+1-nek nincs közös osztója.

Ezért x-1=a³, x+1=b³ kell legyenek, ahol a és b relatív prímek. Köbszámok kellenek legyenek, mert köbszám a szorzatuk (y³), ők maguk viszont relatív prímek. (a és b lehet pozitív vagy negatív is.)

A különbségük:

b³-a³=(x+1)-(x-1)=2

b³=a³+2

Ennek triviális megoldása a=-1, b=1, amiből x=0, y=-1 lesz.

Könnyen belátható, hogy |a|>1 esetén nincs további megoldás.

b) g=2

Vagyis x-1 és x+1 mindkettő osztható 2-vel (x páratlan) és nincs több közös osztójuk.

Ezért x-1=2a³, x+1=4b³ kell legyenek, ahol a és b relatív prímek. Lehet még fordítva is: x-1=4b³, x+1=2a³ (a és b lehet pozitív vagy negatív is.)

A különbségük: (a fordított kiosztást zárójelben írom)

4b³-2a³=2 (vagy 4b³-2a³=-2)

2b³=a³+1 (vagy 2b³=a³-1)

Ennek triviális megoldásai a=b=1 (vagy a=b=-1) illetve a=-1, b=0 (vagy a=1, b=0), amikből x=3, y=2 (vagy x=-3, y=2) illetve x=-1, y=0 (vagy x=1, y=0) jön ki.

Más megoldás nincs, ez Legendre tételéből következik, ami szerint az x³+y³=2z³ diofantoszi egyenletnek csak x=y=z valamint x=-y, z=0 megoldásai lehetnek.

Összefoglalva: az összes megoldás {(0,-1), (-1,0), (1,0), (-3,2), (3,2)}

----

További megoldásokat találsz mondjuk itt:

[link]

(A fenti megoldás is azok közül az egyiken alapul, nem én találtam ki sajnos.)