Mennyi Z=8+6i négyzetgyöke?

Célszerű átírni trigonometrikus alakra:

https://www.youtube.com/watch?v=Q-WyhZeNUpg

és ebből elvégezni a gyökvonást, majd az eredményt visszaírni.

Vagy egyik sem;

Kellene tudni, hogy mit vettetek, de a "kezdet kezdetén" úgy magyarázzák, hogy:

Annyi biztos, hogy a gyökvonás eredményét is komplex alakban szeretnénk megkapni, vagyis felírható, hogy

gyök(8+6i) = a+bi, ahol a és b valós számok. Emeljünk négyzetre:

8 + 6i = a^2 + 2abi - b^2, kis átrendezés után:

(8) + [6i] = (a^2 - b^2) + [2abi]

A zárójelek csak a jobb áttekinthetőséget hivatottak ellátni. Tudjuk, hogy két komplex szám akkor egyenlő, hogyha a valós és a képzetes rész is megegyezik a két számban, esetünkben a valós részek a 8 és az a^2-b^2, a képzetes részek a 6i és a 2abi, így:

8 = a^2 - b^2

6i = 2abi

Nyilván ezeknek egyszerre kell teljesülniük, vagyis ezek egyenletrendszert alkotnak. Ennek megoldásai: a=-3 és b=-1, tehát az egyik keresett gyök a -3-i, a másik megoldás a=3 és b=1, így a 3+i a másik megoldás. Ha ezeket négyzetre emeled, akkor láthatod, hogy valóban az eredeti számot kapod vissza.

Ez a megoldási módszer nagyobb gyökszám esetén is működik, azonban sokkal hosszadalmasabb lenne a számolás, ezért a gyakorlatban ezt a megoldást nem is használják. Ott már sokkal egyszerűbbek azok a megoldások, amiket fent is taglaltak.