Melyek azok a számtani sorozatok, amelyeknek az első három tagját kettővel szorozva egy mértani sorozat első három tagját kapjuk?

Első 3 tag: a, a+d, a+2d

Duplája: 2a, 2a+2d, 2a+4d

Ha ez mértani sorozat, akkor a középsőnek a négyzete ugyanannyi, mint a két szomszéd szorzata:

(2a+2d)² = 2a(2a+4d)

4a² + 8ad + 4d² = 4a² + 8ad

4d² = 0

d = 0

Vagyis a konstans sorozatok mind olyanok.

----

A sorozat 5 tagja: a, a·q, a·q², a·q³, a·q⁴

Összege: a·(q⁵-1)/(q-1)

Reciprokok: 1/a, 1/(aq), 1/(aq²), 1/(aq³), 1/(aq⁴)

Ez is mértani sorozat, az első eleme 1/a, a kvóciense 1/q

Vagy fel lehet írni hátulról előre is, hogy első eleme b=1/(aq⁴), kvóciense q (ugye látod?) :

b, bq, bq², bq³, bq⁴

Összege: b·(q⁵-1)/(q-1)

Ha vesszük a két összeg hányadosát, kiesik a tört, marad csak a/b = a/(1/(aq⁴)) = a²q⁴ = (aq²)²

Vagyis ez éppen a középső elem négyzete.

(aq²)² = 155/0,3875 = 400

aq² = 20

Szóval a középső elem 20, az 5 elem összege 155. Ebből már ugye ki tudod számolni a és q értékét?