Egy 2x2-es mátrixot ami a -1. -en van hogyan számolok ki?

A -1. hatvány pont ugyanúgy működik mátrixok esetén, mint a valós/komplex számoknál; egy nemnulla szám -1-edik hatványa alatt azt értjük, amellyel ha megszorozzuk a számot, akkor 1-et kapunk, például

5 -1-edik hatványa 1/5, mert 5*(1/5)=1

2/3 -1-edik hatványa 3/2, mert (2/3)*(3/2)=1

-3,21 -1-edik hatványa -1/3,21, mert -3,21*(-1/3,21)=1

gyök(2) -1-edik hatványa 1/gyök(2), mert gyök(2)*1/gyök(2)=1

i -1-edik hatványa 1/i, mert i*(1/i)=1

0 -1-edik hatványa nem értelmezhető, mert nincs olyan szám, amivel ha a 0-t szoroznánk, 1-et adna (mivel 0*c=0 minden esetben).

Tehát egy A szám -1-edik hatványa A^(-1), ha A*A^(-1)=1. Azonban itt nem az 1-et, mint számot értjük, hanem az egységet. Tehát általánosságban azt mondhatjuk, hogy számkörtől (testtől/gyűrűtől) függően egy A szám -1-edik hatványa A^(-1), hogyha igaz, hogy A*A^(-1)=E vagy A^(-1)*A=E, ahol E alatt a számkör egységét értjük, az A^(-1)-nt pedig az A inverzének nevezzük. Mátrixok esetén az n*n-es egységmátrixot tekintjük az egységnek (a főátlóban csak 1-es van, mindenhol máshol 0), ebből már nem nehéz kitalálni, hogy a -1-edik hatványt csak négyzetes mátrixok esetén értelmezzük (legalábbis első körben). 2x2-es mátrixok esetén az egység a

[1 0]

[0 1]

mátrix lesz, ezt szeretnénk szorzással megkapni. Nem nehéz rájönni, hogy például az A=

[ 1 2]

[-1 1]

mátrixot az E/A mátrixszal kell megszorozni, hogy megkapjuk az E-t. Ez idáig nem nagy varázslat, azonban mi lesz az E/A? A teljesség igénye nélkül, felírjuk az alábbi bővített mátrixot:

[ 1 0 | 1 2 ]

[ 0 1 |-1 1 ]

A Gauss-eliminációnál tanultak szerint addig sakkozol, amíg a jobb oldalon nem jön elő az egységmátrix, és ha ez megvan, akkor a bal oldalon található 2x2-es mátrix lesz a keresett mátrix.

Azonban a mátrixok esetén tudvalevő, hogy A*B=/=B*A a legtöbb esetben, ezért a mátrixok többségének két inverze lesz, amiket bal és jobb oldali inverznek nevezünk. A fenti esetben a jobb oldali inverzet kaptuk meg, vagyis amivel jobbról szorozva az eredetit, kapjuk meg az egységmátrixot. A bal oldali inverzet pont ugyanúgy számítjuk ki, csak fordítva, tehát a bővített mátrixban a jobb oldalra kerül az egységmátrix és balra az A mátrix, és addig sakkozol, amíg a bal oldalon nem kerül elő az egységmátrix, ekkor a jobb oldalon lesz a keresett balinverz. Azonban nem nehéz rájönni, hogy ugyanazokat a lépéseket tesszük meg, mint a fenti esetben, így ugyanazt is fogjuk eredménynek kapni. Ez persze nem egy teljeskörű bizonyítás, de szemléletesen megmutatja, hogy ha A*A^(-1)=E, akkor ez fordítva is igaz lesz, tehát A^(-1)*A=E is igaz lesz. Ebből következően a négyzetes mátrixok bal- és jobbinverze ugyanaz (már ha létezik).

Egy mátrix nem invertálható (nincs inverze), hogyha determinánsa 0. Ha ezt esetleg nem tudnánk, akkor sem kell pánikba esni, mivel az elimináció valamelyik oldalon nullsort eredményezne, így nem vinne eredményre az elimináció, így az adott mátrixnak nem lesz inverze. Ilyen például az

[1 2]

[2 4] mátrix is.

Természetesen vannak más invertálási módszerek, de 2x2 esetén talán ez a legegyszerűbb, még 3x3-nál is lehet praktikusan használni, nagyobb mátrixoknál már lehet más módok után kutatni.

2x2-es mátrixot fejből kell tudni invertálni, az alábbiak szerint:

-megcseréljük a főátló elemeit.

-a mellékátló elemeit (-1) -el szorozzuk.

-minden elemet osztunk a determinánssal.

Ezt akkor is kell tudni, ha a legmélyebb álmodból vernek föl!