Függvények függvénye. Hogyan kell értelmezni: f (xy) = f (x) + f (y)? És végül is mennyi ez esetben pl. az f (2007) értéke?

A legtöbb esetben az a jó eljárás, hogy x-et és y-t (vagy ami van) szerencsésen megválasztva megtudhatunk bizonyos értékeket, mert kiesnek; például f(1) értékét megtudjuk határozni, mivel ha x=1, akkor

f(1*y) = f(1) + f(y), vagyis

f(y) = f(1) + f(y), nyilván f(y)-f(y)=0, így ebből

0 = f(1) adódik.

Hasonló módon f(2007) értéke is meghatározható; ha x=0 és y=2007, akkor

f(0*2007) = f(0) + f(2007), vagyis

f(0) = f(0) + f(2007), erre

0 = f(2007) adódik.

A fenti f függvény valóban csak az azonosan 0 lehet.

De ha nem követeljük meg minden valós x,y-ra, hanem csak mondjuk a pozitív egészekre (azaz kevesebbet követelünk meg), akkor már vannak nem triviális megoldások.

Például a logaritmus, vagy a nagy omega függvény (prímtényezős alakban a kitevők összege) ilyenek.