Hogy kell ezt a feladatot megoldani (határérték)?

Az ilyen alakú határértékeket úgy szoktuk megoldani, hogy bővítünk valamivel úgy, hogy könnyebben kezelhető kifejezést kapjunk. Itt a problémát az okozza, hogy különböző gyökszám alatt vannak a tagok, így ebben a formában ez kivitelezhetetlen. Először azt kellene megoldani, hogy azonos gyökszám alatt legyenek. Ezt meg tudjuk oldani úgy, hogy az elsőből gyököt vonunk, de hogy értéke ne változzon, négyzetre is emeljük, a másiknál hasonlóan, csak ott köbgyökkel és 3. hatvánnyal, ekkor kapjuk ezt:

hatodikgyök((n^3+4n^2+1)^2) - hatodikgyök((n^2+9n-1)^3)

Ezt már tudjuk bővíteni a következő azonosság szerint:

a^6-b^6 = (a-b)*(a+b)*(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)

Ezt használva a számlálóba ez kerül:

(n^3+4n^2+1)^2 - (n^2+9n-1)^3 =-(19n^5+...), igazából a többi nem is lényeges.

A nevezőbe: [link]

A nevezőben azt a ronda zárójeles kifejezést sajnos ki kell bontani; meg kell nézni, hogy melyik tagokból "nyerhető ki" az n^5, és azt látjuk, hogy összességében 6 darab n^5-nt tudunk összeszedni, tehát a nevezőbe azt kapjuk, hogy (6*n^5+...)

A tanultak szerint az ilyen alakú határértékeknél csak a domináns taggal kell foglalkozni, és a számlálóban és a nevezőben is ugyanakkora a domináns tag kitevője, akkor a határérték azok együtthatója lesz, jelen esetben most -19/6 (de úgy is be lehet látni, hogy egyszerűsítjük a törtet n^5-nel, ekkor -(19+...)/(6+...), és a "..."-ra kerülő kifejezések mind 0-hoz fognak tartani, így a határérték -19/6).

Meg merem kockáztatni, hogy van ennél lényegesen egyszerűbb megoldás is, de egyelőre csak ezt találtam.

Hát igen, valóban van lényegesen egyszerűbb megoldás (aki tudja persze hogyan egyszerű egy ilyet megoldani...)

Mondjuk először a köbgyök alatt teljes köbbé alakítunk, így

n^3+4n^2+1 = (n+4/3)^3-16n/3-37/27.

Hasonlóan teljes négyzetté alakítunk a négyzetgyök alatt, ezt ugye már egy általános iskolás is tudja:

n^2+9n-1 = (n+9/2)^2-81/4-1 = (n+9/2)^2-21.25

A teljes hatványok első tagját kiemeljük a gyökökből:

köbgyök(n^3+4n^2+1) =

=(n+4/3)*köbgyök[ 1-16n/{3*(n+4/3)^3} - 37/{27*(n+4/3)^3} ].

Hasonlóan a négyzetgyöknél:

gyök(n^2+9n-1)=(n+9/2)*gyök[ 1 - 21.25/{n+9/2}^2 ].

Most a limesen belül szeparáljuk a gyököket együtthatók szerint.

A köbgyök önmagában 1-hez tart, és a négyzetgyök is. Vagyis a konstans együtthatóknak a különbsége lesz a keresett határérték, azaz 4/3-9/2 = -19/6.

A nem konstans együtthatóból (n) és a gyökök szorzatából képzett kifejezés pedig zérus lesz, ezt látjuk ránézésre.

Látjuk tehát, milyen egyszerű, szinte általános iskolai eszközökkel oldhatjuk meg a példát.