Egy szigeten negyvenlábú sárkányok és háromfejű sárkányok élnek. Minden negyvenlábú sárkány egyfejű. Hány lába van egy háromfejű sárkánynak, ha összesen 26 fejük és 298 lábuk van a szigeten élő sárkányoknak?

Most átlagosan gondolod? Akkor 14 (vagy 27,25, ha a háromfejű sárkányoknak több fajtája is lehet, amiknek nem ugyanannyi lábuk van – persze ez esetben is kijöhet az átlag 14-re).

Amikor én egy ilyen sárkányos szigeten jártam, akkor egy ilyen 4 lábút sikerült lefényképeznem:

[link]

05:12, köszönöm a megerősítést, nekem is így jött ki a 27,25 = (298 – 80)/8, és akkor már ketten is azt gondoljuk, hogy ez egy jó megoldás.

[link]

[link]

Viszont ez nem a teljes végeredmény. Hogy a teljes megoldást megkapjuk, azt is részletezni kell, hogy miért pont 2 negyvenfejű sárkány van. Miért ne lehetne 3 vagy 4 vagy 5 vagy 6? Vagy 122 vagy 1 se? Mert bizony nem csak az lehetséges, hogy 2 belőlük, hanem más is; és ezért lehet még az is, hogy a háromfejű sárkányoknak átlagosan 14 lábuk van (és nem csak az, hogy 27,25).

1*n + 3*h = 26

40*n + x*h = 298

ahol:

x - egy háromfejű sárkány lábainak száma

n - negyvenlábú sárkányok száma

h - háromfejű sárkányok száma

1*n + 3*h = 26

n = 26 - 3*h

40*n + x*h = 298

40*(26 - 3*h) + x*h = 298

1040 - 120*h + x*h = 298

1040 - 298 = 120*h - x*h

742 = h*(120 - x)

h = 742/(120 - x)

Ebbe a diofantoszi egyenletrendszerbe sorban behelyettesítgetünk az x

helyébe egész számokat 1-től 119-ig, és ahol az eredmények pozitív egész

számok lesznek, azok a jó megoldások.

[link]

Csak egy jó megoldás van.

egy háromfejű sárkány lábainak száma: 14

negyvenlábú sárkányok száma: 5

háromfejű sárkányok száma: 7

Ejnye… Miért kéne, hogy a sárkányok lábainak száma átlagosan egész legyen? Miért csak az egészeket próbálgatod programmal? (Meg minek ehhez egyáltalán program?) Ha józan paraszti ésszel elképzeled, hogy egy istállóban van 4 tyúk és 3 bárány, akkor az istállóban egy állat lábainak száma átlagosan (4*2 + 3*4)/(4 + 3) = 20/7 ≈ 2,857, amivel semmi baj nincs. Ha megnézed az külön ki van kötve a feladatban (még az eredetiben is: [link] ) hogy minden negyvenlábú sárkány egyfejű, de a háromfejű sárkányoknak nem feltétlenül kell, hogy ugyanannyi lábuk legyen, különben az is bele lenne írva a feladatba. (Az egyenletrendszerek legalább stimmelnek nálad is.)

A megoldás tömören, ha a nyilvánvaló dolgokat nem rágom szájba:

Legyen x a negyvenlábú, és y a háromfejű sárkányok száma, valamint p egy háromfejű sárkány lábainak száma átlagosan.

(1) x + 3*y = 26 -->

--> x = 26 – 3*y ≥ 0 --> 26/3 ≥ y --> y ≤ 8;

illetve y = (26 – x)/3 ≥ 0 --> 26 ≥ x --> x ≤ 26.

(2) 40*x + p*y = 298

40*(26 – 3*y) + p*y = 298 --> p = 120 – 742/y ≥ 0 --> y ≥ 742/120 --> y ≥ 7.

Ha y = 7, akkor p = 14; és ha y = 8, akkor p = 27,25.

Szóval nem bonyolult, 7 sor. (Lényegében egy ****†.)

Szájbarágósan:

Ha x a negyvenlábú sárkányok száma, y pedig a háromfejűeké, akkor egyrészt tudjuk, hogy x és y nem negatív egész számok (lásd az ismert 5enutaznakabuszon-leszállnak8an-hányanmaradnak-probléma), másrészt a fejek száma alapján

(1) x + 3*y = 26,

tehát

x = 26 – 3*y ≥ 0 --> 26/3 ≥ y --> y ≤ 8

(utóbbi azért, mert y egész is, tehát ha kisebb 8,667-nél, akkor legfeljebb 8‡), és hasonlóan

y = (26 – x)/3 ≥ 0 --> 26 ≥ x --> x ≤ 26.

A lábak száma alapján pedig

(2) 40*x + p*y = 298,

ahol a p a háromfejű sárkányok lábainak száma átlagosan. Erről is tudjuk, hogy nem negatív (lásd az előbb említett hosszúnevű-problémát), és ennek keressük az olyan értékeit, amire az egyenletrendszernek vannak megoldásai. A (2)-be x = (26 – 3*y)-t helyettesítve

1040 – 120*y + p*y = 298,

p = 120 – 742/y ≥ 0 --> y ≥ 742/120 --> y ≥ 7.

Azaz 7 ≤ y ≤ 8, tehát y kizárólag 7 és 8 lehet.

HA y = 7 darab háromfejű sárkány van, akkor p = 120 – 742/7 = 14, azaz a háromfejűeknek átlagosan 14 lába van (ami simán lehet például van 4 darab félig kínai sárkány, aminek köztudottan nincs lába, ott van, amiről a képet közöltem és 4-lábú, és még 2 darab 47-lábú).

HA y = 8 darab háromfejű sárkány van, akkor p = 120 – 742/8 = 27,25, azaz a háromfejűeknek átlagosan 27,25 lába van (ami szintén simán lehet például 7 darab van ott olyan, mint amiről a kép készült és még egy 190-lábú).

Tehát a feladat alapján egy háromfejű sárkánynak átlagosan 14 vagy 27,25 lába van a szigeten, ahogy már rögtön az első válaszban leírtam.

sharkxxx, a megoldásodban az is egy hiba, hogy nem derül ki, hogy miért ne lehetne átlagosan 119-nél több lába egy háromfejű sárkánynak.

†Paraméteres lineáris diofantoszi egyenletrendszer, amiben a paraméter azon nem negatív valós értékeit keressük, amire a megoldások is nem negatív egészek. (De ezt csak lábjegyzetbe írom, mert különben a 9.-esek azt hiszik, nem kell tudniuk megoldani egy ilyen feladatot.)

‡ Ezt csak zárójelbe írtam, pedig ha egészekkel kell dolgozni, akkor nagyon hasznos ötlet tud lenni.