Térgeometriai feladat megoldás segítség?

Itt "meglesheted" a megoldást:

[link]

A B) kérdéshez.

Legyen

a, b, c - a téglatest élei (a > b > c)

F1, F2, F3 - a határoló lapok területe (F1 > F2 > F3)

(1) F1 = a*b

(2) F2 = a*c

(3) F3 = b*c

V = ? - a téglatest térfogata

A térfogat számításához szükségünk van az oldalélek nagyságára, lássuk mire megyünk a megadott információval.

Az (1) egyenletből

(A) a = F1/b

A (2)-be behelyettesítve

F2 = (F1/b)*c = F1*c/b

ebből

(B) b = F1*c/F2

Ezt behelyettesítve a (3)-ba

F3 = F1*c²/F2

amiből

c² = F2*F3/F1

illetve

c = (√F2*F3)/√F1

Gyöktelenítés után

c = (√F1*F2*F3)/F1

***************

Ezt visszahelyettesítve a (B), majd az (A) egyenletekbe kapjuk, hogy

b = (√F1*F2*F3)/F2

****************

és

a = (√F1*F2*F3)/F3

****************

Minden megvan a térfogat kiszámításához, csak be kell helyettesíteni a

V = a*b*c

egyenletbe

V = [(√F1*F2*F3)/F3]*[(√F1*F2*F3)/F2]*[(√F1*F2*F3)/F1]

Négyzetre emelés és egyszerűsítés után marad, hogy

V = √F1*F2*F3)

=============

Meglepő, hogy mik rejteznek egy egyszerű téglában! Azt hiszem, hogy ezért a szép összefüggésért érdemes volt megtenni ezt a kis algebrai túrát.:-)

DeeDee

*******

Időközben született egy új megoldás.

Az előző megoldás kiinduló egyenletei

F1 = a*b

F2 = a*c

F3 = b*c

Összeszorozva a három egyenletet

F1*F2*F3 = (a*b*c)²

A jobb oldal a térfogat négyzete

F1*F2*F3 = V²

ebből

V = √(F1*F2*F3)

==============

Ennyi!

DeeDee

*******

Jó hosszú ez a számítás, amit leírtak, van egyszerűbb:

A kezdeti térfogat: V0=a^3.

Az élhosszmódosítás utáni térfogat: V1=(a-4)(a+6)a.

A kettő egyenlőségéből, feltéve hogy a>4:

a^2-(a-4)(a+6)=0. A másodfokú tagok kiesnek és a=12cm adódik. Innen a többi kérdés megválaszolása már magától értetődő.