Hogyan lehetne megoldani ezt a feladatot? Írjuk fel szorzat alakban: 6x^4-18x^3+12x^2-12x+24 /Z fölött

Azt ugye lehet látni, hogy x=2 az egyik valós megoldás. Tehát polinomosztást kell végeznie (x-2)-vel. Ebből az alábbi szorzatalakot kapja:

(6*x-12)*(x^3-x^2-2)

A harmadfokú tényező szintén szorzatalakra bontható, de ehhez valamilyen numerikus módszert kell használnia. Egy valós gyököt kap rá, és egy komplex konjugált gyökpárt.

Tehát a végső szorzatalak:

(6*x-12)*(x-c)*(x-a-b*i)*(x-a+b*i)

ahol a,b,c konst.

Továbbgondolva, ha ismeri a Cardano-formulát, akkor most egy hiányos harmadfokú egyenletre alkalmazhatja.

A valós gyökre a következőt kell kapnia:

c=(1/3)*{1+köbgyök[28-3*gyök(87)]+köbgyök[28+3*gyök(87)]}.

A két komplex gyökpár számolását önre bízom, a fentiek szerint nem nehéz.

Mivel egészek felett kell felbontani a polinomot, ezért csak az egész gyököket keressük, erre pedig elég oszthatósági megfontolásokat tenni:

6*x^4 – 18*x^3 + 12*x^2 – 12*x + 24 = 0,

mivel minden együttható osztható 6-tal, ezért osszunk vele:

x^4 – 3*x^3 + 2*x^2 – 2*x + 4 = 0,

x*(x^3 – 3*x^2 + 2*x – 2) = –4.

Itt pedig mindkét tényező osztója kell legyen –4-nek, tehát x csak –4, –2, –1, 1, 2 vagy 4 lehet. Ha ezeket végigpróbálgatjuk, akkor megtaláljuk az összes egész gyököt (csak a 2 lesz jó), és utána valóban

polinomosztással kaphatjuk meg a szorzatalakot:

6*(x – 2)*(x^3 – x^2 – 2),

ami a végeredmény, mert a harmadfokú tényezőnek nincs egész gyöke, így nem bontható tovább az egészek felett.

(((Fura, hogy egy ilyen művelt, még a numerikus módszereket is ismerő válaszadónak nem jutott eszébe egyből a Cardano-képlet, mikor az még a függvénytáblázatban is benne van… Meg hogy nem sikerült végigolvasnia a feladatot.

> „A két komplex gyökpár számolását önre bízom, a fentiek szerint nem nehéz.”

Jaja, én is pont ezt mondanám, ha nem tudom megcsinálni.)))

3-nak: Nem értem, mi a problémája. Maga is hasonló eredményre jutott, leszámítva, hogy a komplex gyöktényezőkkel már nem számolt. Igaz, a feladat csak az egész számhalmaz fölött kéri a megoldást, így ezen irányú túlmutatásomat kezelje kiegészítésként.

„A két komplex gyökpár számolását önre bízom, a fentiek szerint nem nehéz.”

Jaja, én is pont ezt mondanám, ha nem tudom megcsinálni."

Ez egyfajta serkentése inkább a kérdezőnek, hogy gondolkodjon is.

Az egy dolog, hogy én látom a megoldást a komplex gyökpárra is, ugyanis a korábbi

jelöléseim szerint:

a=1/3-(1/6)*{köbgyök[28-3*Sqrt(87)]+köbgyök[28+3*Sqrt(87)]}

b=köbgyök[28+3*gyök(87)]/(2*gyök3)-köbgyök[28-3*gyök(87)]/(2*gyök3)

adódik. Kérdés marad persze, hogy látják -e (a kérdező és ön is egyaránt) hogy ez a megoldás.