Centripetális gyorsulás képlet bizonyítása?

Tekintsünk egy általános térgörbe menti mozgását egy anyagi pontnak, a mozgástörvény r(t).

A befutási törvény legyen s(t) alakú, ahol s ugye az ívhossz. Ekkor

dr/ds=et, a tangenciális irányú egységvektor.

Másrészt dr/ds=dr/dt*dt/ds=v*1/(ds/dt), vagyis

v=(ds/dt)*et. Itt nyílván ds/dt=|v|, azaz a pályasebesség.

Differenciálgeometriából tudjuk hogy det/ds=(1/ro)*en, ahon en a normális egységvektor, ro pedig a pálya adott pontjához tartozó simulókörének a sugara.

A gyorsulás ezért: a=dv/dt=(d/dt)(ds/dt*et)=(d^2s/dt^2*et)+(ds/dt)*det/dt, vagyis

a=(d^2s/dt^2)*et+(ds/dt)^2*en/ro.

Ebből látjuk, hogy a gyorsulás két tag összegeként adódik, egy tangenciális és egy normális irányú gyorsulásból.

Egyenletes körmozgásnál triviális, hogy a tangenciális komponens zérus, a normális komponensnél pedig ds/dt=v, vagyis

|a|=v^2/R, ahol R a körpálya sugara.

Remélem világos.

Ha később ilyen jellegű kérdés merül fel benned, esetleg érdemes lehet a Holics László által szerkesztett FIZIKA 1 című könyvben utánanézned.

Abban a mechanikától az elektrodinamikáig elég sok dolgot megtalálsz, s rendszerint le is vezetik benne a közölt összefüggéseket, így valószínűleg megtalálod, ami érdekel.

Utolsónak: A Holics-féle könyvek nagyon hasznosak, én is szoktam ajánlani őket, aki emelt fizika érettségire készül, annak nagyon jó.

Azt viszont nem tudom, hogy a centripetális gyorsulás abban le van -e olyan szabatosan és érthetően vezetve, ahogy én előző válaszomban tettem.

Persze ha a kérdező eléggé érdeklődő, akkor az iskolai könyvtárban is találhat számos mechanikával foglalkozó szakirodalmat, amelyek által tudását is bővítheti.

Ha érdekli egyébként a kérdezőt, írhat akár privátot, tudok ajánlani viszonylag sok szakirodalmat, amelyből tanulhat .