C mely értékei esetén esik a 3 pont egy egyenesbe?

Házi feladat és "insert coin" kategória, de kis segítség:

A-C-B koordináták:

1..3..5

2..0..-2

3..?..5

A legegyszerűbb megoldás (amihez nem kell felírni sem egyenes egyenletet, sem vektorokkal nem kell számolni) az, hogyha felírjuk a három pont páronként vett távolságát:

|AB| = gyök((5-1)^2+(-2-2)^2+(5-3)^2)=...=6

|AC| = gyök((3-1)^2+(0-2)^2+(c-3)^2)=...=gyök(8+(c-3)^2))

|BC| = gyök((3-5)^2+(0-(-2))^2+(c-5)^2)=...=gyök(8+(c-5)^2)

Ha erre a három hosszra teljesülne a háromszög-egyenlőtlenség, vagyis bármely kettő összege nagyobb lenne, mint a harmadik, akkor a három pont egy háromszöget határozna meg, így nem eshetnének egy egyenesre, tehát valamelyik kettő összege a harmadikkal kell megegyeznie ahhoz, hogy a három pont egy egyenesre essen. Jelen esetben háromféle egyenletet tudunk felírni;

|AB|+|AC|=|BC|, vagyis 6+gyök(8+(c-3)^2))=gyök(8+(c-5)^2))

|AB|+|BC|=|AC|, vagyis 6+gyök(8+(c-5)^2))=gyök(8+(c-3)^2))

|AC|+|BC|=|AB|, vagyis gyök(8+(c-3)^2))+gyök(8+(c-5)^2))=6

Ezt a három egyenletet megoldjuk, és ahol megoldást kapunk c-re, az lehet c értéke, ha nem kapunk rá valós megoldást, akkor az az eset nem áll fenn.

Érdemes azonban azt észrevenni, hogy a pontok között az A->C->B precedencia áll fenn, ez látható a koordinátákból (elég csak az x koordinátákat vizsgálni), tehát az |AB| távolság lesz a legnagyobb mindenképp, vagyis csak a gyök(8+(c-3)^2))+gyök(8+(c-5)^2))=6. Mivel csak egy megoldást várunk a feladatra, ezért az egyenletet érdemes szélsőértékvizsgálattal megoldani, de izomból is megoldható, csak sokáig tart. Mindenesetre c=4 lesz a vége.

Ha vektorokkal vagy egyenletfelírással számolunk, akkor sokkal hamarabb a végére lehet jutni a feladatnak, csak ahhoz tudni kell, hogy két pontra hogyan írjuk fel az egyenes egyenletét térben.