Van egy y=4-x² parabola és egy x²+y²-2,6y=0 egyenletű kör. Hogyan kell a területüket kiszámolni?

A kör területét még csak-csak ki lehet számolni, a paraboláét már nem, mivel az egy nyílt görbe, görbének pedig nincs területe.

Gondolom a feladat arra irányul, hogy ezek valahogyan közrefognak egy síkidomot, és annak a területét szeretnéd kiszámolni. Ehhez első körben számoljuk ki a kör és a parabola metszéspontjait; egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

y=4-x² }

0=x^2+y²-2,6y } (direkt írtam fordítva)

Érdemes észrevenni, hogy ha a két egyenletet összeadjuk, akkor x² kiesik, és ami marad, az egy egyismeretlenes másodfokú egyenlet:

y = y²-2,6y + 4

0 = y²-3,6y + 4, érdemes szorozni 5-tel:

0 = 5y² - 18y + 20

Ennek nincs megoldása, tehát a kör és a parabola nem fogja metszeni egymást, tehát nem határoznak meg síkidomot.

A parabola az x-tengelyt nyilvánvalóan x=-2 és x=2 helyeken metszi, a kör pedig a -gyök2 és gyök2-nél. Tehát közös metszéspont nincs.

A parabola alatti terület számításához szimmetriaokok miatt elegendő csak 0-tól 2-ig integrálni, majd az eredményt 2-vel szorozni:

T=2*(4*2-2^3/3)=32/3.

A félkör területe (mivel a sugár gyök2):

F=2*pi

A keresett terület tehát: T-F=32/3-2*pi. Numerikusan 4,383 területegység.

Na a kör sugarát sikerült elnéznem.

Teljes négyzetté kell alakítani:

x^2+(y-1,3)^2=1,3^2 adódik. Tehát R=1,3 hosszegység.

Így a félkör területe:

F=pi*1,3^2/2=2,656 területegység.

Tehát T-F=32/3-2,656=8,011 területegység.

Ez a terület természetesen a parabola, a kör, és az y=0 egyenes által bezárt terület.