Moór Ágnes feladatgyűlytemény 362. feladatát hogyan kell megoldani?

Ha a lift gyorsulása a, és a nehezék együtt gyorsul a lifttel, akkor az ő gyorsulása is a lesz. Másrészt 3 erő is hat rá, egyrészt a gravitációs lefelé, és két rugó erő, amit a gumiszál két fele fejt ki a felfüggesztési pontok irányába. Ez alapján Newton II. törvénye (m kivételével minden vektor):

(0) F1 + F2 + G = m*a

A gumiszál hosszának fele nyújtatlanul legyen L, és az egyik felének megnyúlása x. Így az F12 erők nagysága F = |F1| = |F2| = D*x, ahol D a gumiszál felének a rugóállandója. x-re a koszinusz definíciója szerint:

L/(L + x) = cos(α) --> x = L*(1 – cos(α))/cos(α).

Másrészt mivel az elrendezés szimmetrikus, ezért a fenti három erő vízszintes komponensei kioltják egymást, és elég a függőleges, z komponenseket felírni. A felfele irányt pozitívnak választva (innentől kezdve minden skalár, mert a vektorok komponensei skalárok):

F1z = F2z = F*sin(α),

Gz = –m*g.

Ezekkel Newton II. törvénye függőleges irányban:

(0z) F*sin(α) + F*sin(α) – m*g = m*a, //Én kapásból ezt is elfogadnám alapegyenletnek, de néhányan szeretnek vektorokkal szöszölni.

D*x*sin(α) + D*x*sin(α) = m*a + m*g,

(0*) 2*D*L*(1 – cos(α))*tg(α) = m*(a + g),

ami egy összefüggés tetszőleges α szög és a gyorsulás között.

Az α1 = 30°-hoz a1 = 0 tartozik, az α2 = 35°-hoz tartozó a2 pedig az ismeretlen. Viszont mindkettőre felírhatjuk a (0*) összefüggést:

(1) 2*D*L*(1 – cos(α1))*tg(α1) = m*(a1 + g),

(2) 2*D*L*(1 – cos(α2))*tg(α2) = m*(a2 + g).

A (2) egyenletet az (1)-gyel osztva

((1 – cos(α2))*tg(α2))/((1 – cos(α1))*tg(α1)) = (a2 + g)/(a1 + g),

a2 = (a1 + g)*((1 – cos(α2))*tg(α2))/((1 – cos(α1))*tg(α1)) – g.

És akkor még lépésenként szépen helyettesíthetünk

(1 – cos(35°))*tg(35°) ≈ 0,1266,

(1 – cos(30°))*tg(30°) ≈ 0,07735,

kihasználva, hogy a1 = 0:

a2 ≈ g*(0,1266/0,07735 – 1) ≈ 0.6367*g ≈ …