Matekosok! Ezt hogyan kellene megoldani?

Ehhez a feladathoz nem szükséges semmiféle levezetés.

Vagy megtanulod a nevezetes szögeket, vagy megnézed valahol(függvénytábla, internet)

Ugye a koszinusz úgy van definiálva, hogy ha az x szög koszinusza, az az egység sugarú kör x szöggel elforgatott sugarának az eredeti sugár egyenesén vett MERŐLEGES vetületének a hossza, ha ez a sugárra esik, ennek –1-szerese különben.

Most x a [0, 2*π] intervallumon fut, tehát nekünk elég ezt vizsgálni. Ha π/2-nél jobban elforgatjuk a sugarat, de még 3*π/2-nél kevésbé, akkor negatív értéket fogunk kapni, ezért elég a [0, π/2] és a [3*π/2, 2*π] intervallumokon keresni a megoldást. Ezen kívül még azt lehet észrevenni, hogy ha 3*π/2 után tovább forgatjuk a sugarat, akkor pont ugyanolyan vetületek jönnek ki, mint hogy ha π/2-től visszafele mennénk. Tehát ha egy x1 szög megoldás lesz, akkor az x2 = 3*π/2 + π/2 – x1 = 2*π – x1 szögnek is megoldásnak kell lennie. Ez ugye azt is jelenti, hogyha a [3*π/2, 2*π] intervallumon találunk egy megoldást, akkor annak lesz egy párja a [0, π/2] intervallumon. Szóval összegezve ezt a bekezdést, nekünk elég a [0, π/2] intervallumon megtalálni az összes megoldást, mert ezekből elő tudjuk állítani a [0, 2*π]-n is az összeset, és újat nem találnánk sehol sem.

A következő dolog, hogy ahogy az x szög elmegy 0-tól π/2-ig, a vetület hossza szigorúan monoton csökken. Ez azért fontos, mert így csak 1 megoldás lehet legfeljebb (ezen a részintervallumon), ha azt megtaláljuk, akkor megtaláljuk az összeset is.

És most jön az, amit az első válaszadó írt, hogy biztos tanultátok azt az x szöget, ami a megoldás lesz, hiszen ezt a legkönnyebb kiszámolni, és példaként mindig ezt számolják ki lényegében először. De én is leírhatom: most jön a definícióból a merőleges szó. Ha a sugár végét összekötjük a vetületének a végével, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk (nyilván a vetülettel meg a sugárral együtt). És most a feladat (és a definíció) szerint ebben a háromszögben az egyik befogó (azaz a vetületdarab) hossza feleakkora, mint az átfogóé (ami a sugár). Ilyen háromszöget pedig nem nagy kunszt gyártani, egyszerűen félbe kell vágni egy szabályos háromszöget a magasságvonala mentén, a kérdéses x szög tehát a szabályos háromszög egyik csúcsánál levő szöge lesz.

(((Na, most nézem, hogy feleslegesen körmöltem ennyit, mert közben a kérdező leírta, hogy érti a felét annak, amit leírtam…)))

Ez pedig π/3. Ezenkívül – a 2 bekezdés értelmében – megoldás még a 2*π – π/3 = 5*π/3, és más megoldás – ugye a 3. bekezdésem értelmében – nincs.

Ha már ennyit írtam, akkor a teljesség kedvéért még egy kevés kitekintés:

Ha az 1/2 helyett valamilyen c valós szám lenne, akkor nyilván nem találnánk megoldást, ha ez –1-nél kisebb vagy 1-nél nagyobb. Még az is egyszerűen látszik, hogy ha c = –1, akkor a π lesz az egyetlen megoldás (ugye mert ilyenkor a vetület egybeesik a tükörképével).

Ha c a (–1, 1] intervallumból kerül ki, akkor viszont mindig pontosan 2 darab x lesz a megoldás. Ennek a belátásához egyrészt az kell, hogy belássuk, hogy a koszinusz folytonos, másrészt ha az megvan, akkor a Bolzano–Darboux-tétel szerint lesz is megoldás. Ezt részletesebben tárgyalják például itt:

[link]

Egy kicsit másmilyen megközelítés, és ezt tetszőleges intervallumra el lehet játszani;

általánosan (valós számkörben) azt tudjuk, hogy a

cos(x) = 1/2

egyenlet megoldásai így adhatóak meg:

x = pi/3 + k*2pi

x = -pi/3 - k*2pi, mindkét esetben k tetszőleges egész szám.

A második megoldáshalmaz a koszinuszfüggvény azon tulajdonságából jön ki, hogy párosfüggvény (az y-tengelyre szimmetrikus), vagyis teljesül az, hogy cos(x)=cos(-x) tetszőleges x-re, így ha megoldás a pi/3 + k*2pi, akkor megoldás a -(pi/3 + k*2pi)= -pi/3 -k*2pi is. Mivel minden egész k-ra teljesülnie kell az egyenlőségnek, és a -pi/3 -k*2pi és a -pi/3+k*2pi ugyanazt az eredményhalmazt adja, ezért nyugodtan lehet +k*2pi-t is írni.

Most a megoldás annyiban változik, hogy nem a valós számok halmaza a függvény értelmezési tartománya, hanem a [0;2pi] intervallum, tehát annak kell teljesülnie, hogy 0<=x<=2pi, x értéke pedig adott, tehát ezeknek kell teljesülniük:

0<=pi/3+k*2pi<=2pi, ezt k-ra rendezzük, és -1/6<=k<=5/6 eredményt kapjuk. Lévén k egész, ezért azt kell megnézni, hogy milyen egész számok elégítik ki az egyenlőtlenséget, és a k=0-t kapjuk eredménynek, tehát a pi/3 + k*2pi alakú megoldásokból nekünk csak a k=0-ra érkező pi/3 + 0*2pi=pi/3 adódik, ez lesz az egyik megoldás.

A másik megoldáshoz a másik alakkal kell felírnunk az egyenlőtlenséget:

0<=-pi/3+k*2pi<=2pi, erre 1/6<=k<=7/6 eredményt kapjuk, ennek szintén egy egész megoldása van, a k=1, tehát a -pi/3 +k*2pi alakú megoldásokból a -pi/3 + 1*2pi = 5pi/3 eredményt kapjuk.

Valójában erre a "bonyolult" levezetésre nincs is most különösebben szükségünk, mivel a [0;2pi] intervallum egy teljes forgatást foglal magában, ezért elég csak felrajzolni az egységkört, és abból leolvasni az egyenlet megoldásait.

Felrajzolsz egy koszinuszfüggvényt a [0;2 pí] intervallumon (sárga függvénytáblázat 64. oldal környékén), majd az y tengelyen megkeresed az 1/2-edet. Ezen keresztül húzol egy párhuzamost az x tengellyel (ez egy konstansfüggvény). Megnézed, hogy hol metszi el az egyenes a függvényedet.

Megoldás: pí/3 és 5*pí/3