Hogy lehet ezeket bizonyítani teljes indukcióval?

Az első teljesen jó.

A másodikat is jó lett volna, ha leírod, mert abból tudnánk, hogy hol ment el a számolás. De az alapkoncepció ugyanaz;

n=1-re 10^1*(9*1-1)+1=81, 81|81 igaz.

Tegyük fel, hogy n-ig igaz. Most n+1-re nézve:

10^(n+1)*(9*(n+1)-1)+1 = 10*10^n*(9n+9-1)+1 = [10^n*(9n-1)+1] + 9*10^n*(9n-1) + 10*10^n*9

A szögletes zárójelben lévő rész maga az indukciós feltevés, tehát az biztosan osztható 81-gyel. Így már csak a maradékkal kell foglalkozni.

A második tagból is ki tudjuk kényszeríteniaz indukciós feltételt, csak hozzá kell adni 9-et, persze ekkor az egészből le is kell vonni:

9*10^n*(9n-1)+9 + 10*10^n*9-9

Ha kiemeled a 9-et az első részből, akkor ott is meglesz az indukciót feltétel, így már csak az utolsó felére kellene valami okosságot kitalálni. Itt több minden kitalálható; ha nagyon nincs ötletünk, akkor egy újabb teljes indukcióval be lehet látni, hogy osztható 81-gyel (tehát ugyanazt kell végigzongorázni, amit eddig csináltunk, csak most a 10*10^n*9-9-re). A másik lehetőség egy kicsit egyszerűbb; végezzük el a szorzást:

90*10^n-9, majd emeljünk ki 9-et:

9*(10^n-1)

Erről úgy fogjuk belátni, hogy osztható 81-gyel, hogy tényezőnként belátjuk, hogy mindkettő osztható 9-cel, így az egész osztható lesz 9*9=81-gyel. 9|9, ez triviálisan igaz, A második tényezőről azt tudjuk, hogy helyiértékes alakja tetszőleges pozitív egész n-re csak 9-est tartalmaz, vagyis 999... hogy mennyit, az n értékétől függ, ez pedig szintén triviálisan osztható 9-cel (az eredmény 111... lesz, és annyi 1-es van, ahány 9-es volt a 999... számban).

És itt kész is vagyunk, az eredeti kifejezés mindig osztható lesz 81-gyel.

Az elsőnél szerintem inkább úgy kéne, hogy különveszed az 1. és 2. pontot. Szóval

1. n = 1-re igaz, mert 8^3 + 3^6 = 73*17.

2. Tegyük fel, hogy bármilyen n (természetes számra) igaz.

Amúgy jó, de az első pontban a számolás tényleg fontos.