Hogy kell kiszámolni a súlypontját?

A súlypont definíciós képletével:

xs=integrál(x*dA)/integrál(dA)

szimmemtriaokokbóll ys=xs.

De igazából integrálni sem kell, mert a negyedkör sulypontját megtalálod táblázatban.

Az origótól mérve 45°-os egyenesen ez

s1=R*gyök2*[1-4*gyök2*R/(3pi)]

Ezért a straffozott rész súlypontja a 45°-os egyenes mentén:

s=[R^3/2-(R^2*pi/4)*s1]/ [R^2*(1-pi/4)].

Tehát:

s=[R^3/2-(R^2*pi/4)*{R*gyök2*[1-4*gyök2*R/(3pi)]}]/ [R^2*(1-pi/4)].

Ezt szépen kiegyszerűsítgeted.

Ebből nyílván következik hogy

xs=ys=s*gyök2/2, ezek a súlyponti vetületek, és egyben a koordináták.

Javítás: nem kell a zárójelen belül az R*gyök2, mert avval kiemeltünk. Helyesen:

s1=R*gyök2*[1-4/(3pi)]

Ezért a straffozott rész súlypontja a 45°-os egyenes mentén:

s=[R^3/2-(R^2*pi/4)*s1]/ [R^2*(1-pi/4)].

Tehát:

s=[R^3/2-(R^2*pi/4)*{R*gyök2*[1-4/(3pi)]}]/ [R^2*(1-pi/4)].

"s1=R*gyök2*[1-4*gyök2*R/(3pi)]"

ez így honnan jött tess?

vagy javítás után ez: s1=R*gyök2*[1-4/(3pi)]

fútta a szél? vagy szépen kiintegráltad? vagy táblázatbol?

Írja, hogy táblázatból jött. (Amúgy tényleg elég kusza válasz…)

[link]

Addig oké, hogy a szimmetria miatt a súlypont x és y koordinátája meg fog egyezni. Ha hozzávesszük ehhez a negyedkört, akkor egy homogén négyzetet fogunk kapni, aminek a súlypontja az

(R/2, R/2)

helyen van. Ezt úgy is megkaphatjuk, hogy a két alakzat súlypontba mutató vektorának a területeikkel súlyozott átlaga:

(Salakzat*Talakzat + Snegyedkör*Tnegyedkör)/(Talakzat + Tnegyedkör) = (R/2, R/2).

Ez ugye két egyenlet az Salakzat Sx és Sy komponensére, amik egyeznek, szóval elég az Sx-re vonatkozót felírni. Másrészt a nevező éppen a négyzet területe, R^2, tehát Talakzat = R^2 – π*R^2/4.

(Sx*(R^2 – π*R^2/4) + (R – 4*R/(3*π))*π*R^2/4)/R^2 = R/2,

ahol ugye a 4*R/(3*π) a linkelt táblázat második sorából vettem. Ebből pedig

Sx = Sy = (10 – 3*π)/(12 – 3*π)*R ≈ 0,3351 cm.

Ennek és sok hasonló feladatnak van egy sokkal egyszerűbb megoldása is.

A módszerhez csak a Pappos-Goldin tétel ismerete szükséges, amiről itt találsz leírást:

[link]

Nem tudom hanyadikos vagy, de szerintem nem okozhat gondot a lényeg megértése.

A második tételben található képletben a súlypont által megtett ívhossz a teljes kör, így

V = 2*Rs*π*A

ebből

Rs = V/2πA

ahol

Rs - az idomod (a sraffozott terület) súlypontja által leírt kör sugara. A forgástengely az y tengelytől R távolságban van

V - egy R alapkör sugarú és R magasságú henger és egy R sugarú félgömb térfogatának különbsége.

A - egy R oldalú négyzet és egy R sugarú negyed kör területének különbsége.

Ezek mindegyike egyszerűen számítható, behelyettesítesz és kiszámolod.

Mivel Rs a forgástengelytől mért távolság, ha a súlypont x koordinátája kell, akkor

xs = R - Rs

A feladat pontos megoldása:

xs = R(10 - 3π)/(12 - 3π)

DeeDee

*******

"fútta a szél? vagy szépen kiintegráltad? vagy táblázatbol?"

Táblázatból, mint irtam, a táblázat pedig integrálás alapján készült. De van, akinek az olvasás sem megy...

"Amúgy tényleg elég kusza válasz…"

Legfeljebb annak, aki a legelemibb dolgokkal nincs tisztában.

"A forgástengely az y tengelytől R távolságban van"

Tévedés, a forgástengely maga az x tengely, vagy az y tengely.

"V - egy R alapkör sugarú és R magasságú henger és egy R sugarú félgömb térfogatának különbsége."

Az nem félgömb, hanem egy negyed tórusz.

Eddig olyan szépen meghúztad magad, és próbáltál nem beszólogatni ok nélkül. Ne kezdd megint!

És javítsd ki a hozzászólásod, mert úgy látom, te még azzal sem vagy tisztában, hogy a négyzetnek hol van a tömegközéppontja. Súgok: egészen biztosan nem R/2 távolságra van a négyzet csúcsától.

#9 A helyedben inkább csendben lennék, elvégre még középiskolából is kibuktál.

Múltkor pedig alaposan felsültél még november körül, hogy alapvető matematikai dolgok mennyire nem mennek.

Örültem végre, hogy két hónapig hordott erre a szél, de látom kezdődik előlről.