Hogyan lehetne megoldani a következő feladatokat!? (matematika)

1. n dolog közül pontosan annyiféleképpen tudsz kiválasztani k darabot, mint n dolog közül kiválasztani azt a k darabot, amit nem választasz.

3. Ha n dolog közül 0-t, 1-et, …, n–1-et és n-et választasz, az pontosan olyan, mintha összeszámolnád, hogy egy n elemű halmaznak hány 0-elemű, 1-elemű,… részhalmaza van. De ez pontosan a n elemű halmaz összes részhalmazainak száma, amit úgy is összeszámolhatsz, hogy minden részhalmazba egymástól függetlenül dönthetsz az elemekről, hogy beleveszed-e őket. Tehát az első is vagy benne van, vagy nem, a második is,… ez összesen 2*2*…*2*2 = 2^n lehetőség.

2. Ez úgy kezdődik, hogy n = 0-ra nem is igaz… Legyen n ⩾ 1, és tekintsünk n ember csoportját, ahol Te vagy az n-edik ember.

Az egyenlet bal oldala azt számolja össze, hogy hányféleképpen tudunk páros sok embert kiválasztani a csoportból. Ha az első n–1 embernek kiválasztjuk egy tetszőleges részhalmazát, amit X-féleképpen tudunk megtenni, és ebben páros sok ember van, akkor téged már nem választunk, de ha páratlan sok embert választottunk ki az első n–1 közül, akkor téged hozzá véve pont páros sokat választottunk ki. Tehát a bal oldal értéke X (mert az első n–1 akármelyik részhalmaza jó kiválasztás, csak ha páratlan, akkor téged is hozzáveszünk a végén, ha páratlan akkor meg nem).

Az egyenlet jobb oldala pedig azt számolja össze, hogy hányféleképpen tudunk páratlan sok embert kiválasztani a csoportból. És ezt is pontosan X-féleképpen tehetjük meg, aminek a belátásához csak fel kell cserélni a páros és páratlan szavakat az előző bekezdésben.

(Megjegyzés: a 3. feladat alapján X = 2^(n – 1). Vagy 2*2*…*2-ként számolva, vagy úgy, hogy 2^n/n.)