Egy színházi nézőtéren 560-an férnek el. A 10. sorban 45-en, és minden sorban 2-vel többen, mint az előtte levőben. Hány sor van a színházban?

Az első 10 sorban tehát 360-an ülnek maradt még 200 ember. 2-vel többen ülnek benne mint ami előtt van tehát addig számolni kell. Tehát 14 sor jön ki.

27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53 Ez így 14 sor

"Ja azt hittem valami bonyolultam, mert nem gondoltam, hogy nem tudsz kettessével számokat összeadni."

Az a baj, hogy pont nem úgy kell megoldani, hanem a tanult eszközök segítségével. Mert ha mondjuk nem 560 lenne, hanem 56000, akkor megnézném, hogy kettesével összeadogatod a számokat...

Első körben mindenképp ki kell számolnunk a sorozat első elemét, vagyis hogy az első sorban hány szék van. Gondolati úton úgy tudjuk ezt kiszámolni, hogy a 10. tagtól úgy jutunk el az elsőig, hogy 9-szer elvégezzük a kivonást, tehát 45-2-2-2-2-2-2-2-2-2=45-2*9=27, tehát az első sorban 27 szék van. A képlet ezen a gondolati út szerint születt, de számolhatunk vele;

a(n) = a(1) + (n-1)*d, ahol n=10, tehát a(n)=45, d=2, így:

45 = a(1) + (10-1)*2, ebből 27 = a1 adódik.

Nekünk most valójában a számtani sorozatban szereplő számok összege kell, amire szintén ismerünk képletet:

S(n) = ((a(1)+a(n))*n)/2, tehát az összeget (S(n)) úgy kapjuk, hogy a sorozat 1. és n-edik (utolsó) elemét összeadjuk, megszorozzuk az összeget n-nel (a tagok számával), majd osztunk 2-vel. Ebben a képletben látható, hogy szerepel a(n), amire ismerünk összefüggést (lásd fent), azt egy-az-egyben beírhatjuk a képletbe:

S(n) = ((a(1)+[a(1) + (n-1)*d])*n)/2, a szögletes zárójel csak a jobb áttekinthetőséget szolgálja. Összevonás után ezt kapjuk:

S(n) = ((2*a(1) + (n-1)*d)*n)/2

Ebben n az ismeretlen, és mivel csak az, így jó eséllyel megoldható lesz az egyelet is:

560 = ((2*27 + (n-1)*2)*n)/2, rendezés után:

n^2 + 26n - 560 = 0

Ez egy másodfokú egyenlet, amelyet már meg tudunk oldani, és eredményre n=-40-et és n=14-et kapunk, nyilván a -40 a feladat szempontjából nem lesz megoldás, marad a 14. Mivel n a sorok számát jelölte, ezért a színházban 14 sor van.

Ebből már az is kiszámolható, hogy a 14. sorban hány szék van:

a(14) = a(1) + (n-1)*d = 27 + (14-1)*2 = 53.

"Az a baj, hogy pont nem úgy kell megoldani, hanem a tanult eszközök segítségével. Mert ha mondjuk nem 560 lenne, hanem 56000, akkor megnézném, hogy kettesével összeadogatod a számokat..."

Nyugodtan megnézheted, mert nem úgy csinálnám. Viszont a kérdező akár összeadással is kiszámolhatta volna a dolgokat.