Melyikek azok az abcd alakú négyjegyű számok amelyekre ( a+2) /b = (b+2) /c= (c+2) /d = (d-6) /a?

1357

2468

3579

Ugye a, b, c és d mindenképpen 10-nél kisebb nem negatív egész számok, sőt, egyik sem lehet 0, mert mindegyikkel osztunk valahol. Ezért az (a + 2)/b = (b + 2)/c = (c + 2)/d egy mindenképpen pozitív érték, így a (d – 6)/a-nak is pozitívnak kell lennie. Ez akkor lehet, ha d > 6, tehát a d az csak 7, 8 vagy 9 lehet. Ez 3 eset:

I. d = 7, nézzük először az utolsó egyenlőséget:

(c + 2)/7 = 1/a --> a*(c + 2) = 7,

tehát a és (c + 2) egy pozitív osztópárja a 7-nek, tehát vagy az van, hogy

a = 1 és c + 2 = 7,

vagy

a = 7 és c + 2 = 1.

Az utóbbi nyilván nem lehet, mert akkor c < 0 jön ki, így ott tartunk, hogy

d = 7, a = 1, c = 5, és b-re az egyenlet:

3/b = (b + 2)/5 --> 15 = b*(b + 2),

tehát a b és a b + 2 is osztója a 15-nek.

Ha b = 1, akkor b*(b + 2) = 3: ez nem jó.

Ha b = 3, akkor b*(b + 2) = 15: ez jó.

Ha b = 5, akkor b*(b + 2) = 35: ez nem jó.

Még 15 is osztója 15-nek, de az nem számjegy, így készen vagyunk, ezzel az esettel:

Ha d = 7, akkor a = 1, c = 5 és b egyértelműen 3, tehát a szám ekkor csak az 1357 lehet.

Hasonlóan végig kell bogarászni a maradék 2 esetet, b-re mindig másodfokú egyenlet lesz, így annak a megoldóképletét is lehet használni, de az oszthatóság (ha nem kell végigírni mindent), akkor fejben gyorsabban ellenőrizhető, és ugyanolyan jó.

II. d = 8, a szám egyértelműen 2468 lesz,

III. d = 9, a szám egyértelműen 3579 lesz,

ahogyan az sharkxxx nevű felhasználó válaszában szerepel.