Ez hogy jön ki? sin^2x-cos^2x=cosx?
Ugye valamelyik azonosság alapján a bal oldal -cos(2*x).
Innét megy?
Nézd meg ezt! Biztosan rögtön "rájössz":
Akkor már én is befejezem…
Egy másik azonosság alapján a jobb oldal –cos(x + π). Ezzel
cos(2*x) = cos(x + π).
Ugye ha egy olyan egyenletünk van, hogy cos(a) = cos(b); akkor a koszinusz periodicitása (létezik T, hogy cos(x) = cos(x + T) minden x-re) és paritása (cos(x) = cos(–x) minden x-re) miatt vagy az van, hogy a = b + 2*π*n, ahol n egész; vagy pedig –a = b + 2*π*n, ahol n egész. Szóval
I. 2*x = x + π + 2*n*π, ahol n egész,
x = π + 2*n*π;
VAGY
II. –2*x = x + π + 2*π*n, ahol n egész,
x = –π/3 – 2/3*π*n.
Ezzel készen is vagyunk, talán egy picit emészthetőbbé/átláthatóbbá/összehasonlíthatóbbá tehető a dolog, ha kiválasztjuk az I = (–π, π] intervallumba eső gyököket, és mindegyikhez egységesen 2*π*n-et adunk (ez egyrészt abból látszik, hogy lehet, hogy az eredeti egyenlet 2*π-nként periodikus, másrészt a megoldásoknál is látszik, hogy az I. és II. esetben is 2*π-nként vannak gyökök). Az I. esetben n = 0-ra lesz x része az I-nek; a II.-ban pedig n = 0-ra és n = –1-re; tehát
x = π + 2*π*n,
x = π/3 + 2*π*n,
x = –π/3 + 2*π*n.
------***---******---***------
> „Neked is ennyi jött ki? [link] ”
Hát… Sajnos most nem. Ugye másodfokúra visszavezetve is meg kell nézni mind a 2 gyöknél a 2-2 esetet:
a1 = cos(x1) = –1 = cos(π), tehát
I. x1 = π + 2*π*n VAGY II. x1 = –π + 2*π*n;
a2 = cos(x2) = 1/2 = cos(π/3), tehát
I. x2 = π/3 + 2*π*n VAGY II. x2 = –π/3 + 2*π*n.
Az I.1 esetben n = 0-ra kerülünk az intervallumba, az II.1 esetben n = 1-re; az I.2 és II.2 esetben pedig n = 0-ra:
I.1: x = π + 2*π*n,
II.1: x = π + 2*π*n, //Látszik, hogy ez ugyanaz, mint az előző, tehát az egyiket elhagyhatjuk. Persze arra is lehetett volna hivatkozni, hogy a periódus során a koszinusz egyszer veszi fel a minimumát, de ugye ez másodfokúra visszavezetéses megoldás pont azoknak jó, akik nem szeretik a trigonometriát és az azonosságait.
I.2: x = π/3 + 2*π*n,
II.2: x = –π/3 + 2*π*n.
------***---******---***------
Tehát összességében, ha nem találsz jó azonosságot, akkor visszavezetheted egy polinomra az egyenletet, és akkor már csak sok 'cos(x) = konstans' típusú egyenletet kell megoldanod (mindegyiknél 2-2 esettel); vagy ha szerencséd van, akkor a trigonometrikus azonosságokkal tudsz csinálni 'cos(a) = cos(b)' típusú egyenletet, ahol már csak két esetet kell vizsgálni.
Az egyik megoldás ötletelősebb, a másik számolósabb, mind a kettő jó; de ahogy egy „kedves” tanárom megfogalmazta: „a sz*t így is, úgy is meg kell enni, de a szabadságod megvan, hogy előtte nyersen kenyérre kened, vagy almás süteménybe sütöd”.
(((BTW én kicsit belegondolva arra tippelek, hogy a geogebrás megoldásban csak annyi ment félre, hogy az a2 esetnél 'sin(a) = sin(b)' eset villant be; ott ugye a = b + 2*π*n vagy a + π = b + 2*π*n.)))
További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!