Egy szám 3-mal osztva 2, egy másik 4-gyel osztva 3 maradékot ad. Tizenkettővel osztva mennyi a maradéka az egyes számoknak?

3-mal osztva 2 maradékot dó számok:

2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32 stb

Ezeknek a 12-es maradéka:

2,5,8,11,2,5,8,11, stb.

Tehát 2,5,8 vagy 11 maradékot adhat.

Kicsit tudományosabban:

12-es oszthatóság szempontjából minden szám

12k, 12k+1, 12k+2, 12k+3, 12k+4, 12k+5,

12k+6, 12k+7, 12k+8, 12k+9, 12k+10, 12k+11

alakú.

Ezek közül melyik ad 3-mal osztva 2 maradékot?

12k --> oszható 3-mal

12k+1 --> 1 maradék

12k+2 --> 2 maradék

12k+3 --> oszható 3-mal

12k+4 --> 1 maradék

12k+5 --> 2 maradék

stb.

Tehát innen is látható, hogy ami 3-mal osztva 2 maradékot ad, az 12-vel osztha 2,5 stb. maradékot.

A másikat ugyanígy meg tudod oldani.

Egy picit egyszerűbben is meg lehet oldani; ha a számhoz hozzáadunk 1-et, akkor osztható lesz 3-mal is és 4-gyel is. Ha egy szám osztható 3-mal és 4-gyel, akkor biztosan osztható 12-vel (ez azért van, mert a 3 és a 4 egymáshoz relatív prímek), tehát az így kapott szám is osztható lesz 12-vel. Ha visszavesszük azt az 1-et, amit az előbb hozzáadtunk, akkor 11-es maradékot fogunk kapni 12-vel osztva. Ez akkor lenne így, hogy ha a feladat ugyanarról a számról szólna, és ha már leírtam, akkor legyen itt, a későbbiekben még hasznát veszed ennek.

A későbbiekre azt érdemes megjegyezni, hogy ha egy valamilyen maradékosztályba tartozó számot megszorzunk egy nemnulla egész számmal, akkor a maradékosztály és a maradék is szorzódik. Hogy mire gondolok; ha a 3-mal osztva 2 maradékot adó számot megszorozzuk 4-gyel, akkor a 4-gyel megszorozva a 3*4=12-vel osztott szám 2*4=8 maradékot fog adni. Ezt egyszerűbb úgy látni, hogyha felírjuk általános alakban; a szám felírható 3*k+2 alakban, ahol k tetszőleges egész. Ha ezt emgszorozzuk 4-gyel, akkor 4*(3*k+2)=12*k+8 alakú lesz, ebből pedig már szépen látható, hogy valóban 8 lesz a maradék, és az is látható, hogy a fenti megállapítás miért helyes.

Hasonlóan meg lehet oldani a másik számra is.