Mennyi az x és y racionális szám értéke, amelyre [ (|3x-2|- 5) *√7+√3 ]/ (|y-1|*√7+√2) =√3/√ 2?

Mennyit fizetsz?

+25%-ot még tegyél rá a rossz kategóriaválasztás miatt.

Szorzunk a nevezővel (ami ugye az abszolút érték miatt biztosan pozitív):

(|3*x – 2| – 5)*√7 + √3 = (|y – 1|*√7 + √2)*√3/√2,

|3*x – 2| – 5 = |y – 1|*√3/√2.

Remélem, idáig eljutottál. Most 4 lehetőség van az alapján, hogy az abszolút értékek argumentuma negatív-e.

I. 3*x – 2 < 0 és y – 1 < 0; azaz x < 2/3, y < 1.

–3*x – 3 = (1 – y)*√3/√2,

x + 1 = (y – 1)/√6.

Mivel x racionális, ezért x + 1 is racionális, tehát (y – 1)/√6 is racionális kell, hogy legyen. Mivel y racionális, ezért (y – 1) is, egy racionális és egy irracionális szám (az ugye világos, hogy az 1/√6 irracionális?) szorzata viszont csak úgy lehet racionális

[kiszólás a 00:38-asnak: racionális és irracionális szorzata racionális – MaTeK eGyEs, ugye?],

hogy a racionális szám 0†, tehát

y – 1 = 0,

y = 1.

De ez nem lehet, mert y < 1.

II. 3*x – 2 < 0 és y – 1 ⩾ 0; azaz x < 2/3, y ⩾ 1.

–3*x – 3 = (y – 1)*√3/√2,

x + 1 = (1 – y)/√6.

Ugyanazon a gondolatmenet alapján, mint az előbb:

1 – y = 0,

y = 1,

ami most jó, mert y ⩾ 1. Így pedig

x + 1 = 0/√6,

x = –1,

ami szintén jó, mert x < 2/3. Szóval ebből az esetből kaptunk megoldást:

x = –1, y = 1.

III. 3*x – 2 ⩾ 0 és y – 1 < 0; azaz x ⩾ 2/3, y < 1.

3*x – 7 = (1 – y)*√3/√2,

x – 7/3 = (1 – y)/√6.

Mivel x racionális, x – 7/3 racionális, így megint ott vagyunk, hogy

1 – y = 0,

ami nem lehet, mert y < 1.

IV. 3*x – 2 ⩾ 0 és y – 1 ⩾ 0; azaz x ⩾ 2/3, y ⩾ 1.

3*x – 7 = (y – 1)*√3/√2,

x – 7/3 = (y – 1)/√6.

(A szokásos indoklás…)

y = 1,

ami most lehet, ilyenkor

x = 7/3 ⩾ 2/3,

tehát ez is jó. Szóval ebből az esetből is kaptunk megoldást,

x = 7/3, y = 1.

Így a végeredmény, hogy (x = –1 és y = 1) VAGY (x = 7/3 és y = 1):

(x = –1 vagy x = 7/3) ÉS y = 1.

Harmadik jelölésben az (x, y) nem más, mint (–1, 1) vagy (7/3, 1).

----- ----- -----

†Ha a, b, c, d egész számok, b és d nem 0, és q irracionális, valamint

a/b*q = c/d,

akkor ha a = 0, az egyenlőség teljesül, tehát 0*q racionális. Viszont ha a sem 0, akkor oszthatunk vele:

q = c*b/(a*d),

ami két egész szám hányadosa, viszont ez nem lehet, mert q irracionális.

Feladat: tessék belátni, hogy egy irracionális és egy racionális szám összege sosem racionális.

Vagy mondhatjuk azt is, hogy

(|3*x – 2| – 5)*√7 + √3 = (|y – 1|*√7 + √2)*√3/√2,

|3*x – 2| – 5 = |y – 1|*√3/√2.

Itt a bal oldal biztosan racionális, mert x racionális, és ez csak úgy lehet, hogy a jobb oldalon |y – 1| = 0, tehát y = 1.

Így |3*x – 2| – 5 = 0,

x ⩾ 2/3: 3*x – 2 = 5 --> x = 7/3 ⩾ 2/3, egy megoldás;

x < 2/3: 2 – 3*x = 5 --> x = –1 < 2/3, két megoldás;

és készen vagyunk.