Hajós György Matematika verseny feladat. Segítene valaki?

5.

Az ábra súg, hogy koordinátarendszerben érdemes elhelyezni a téglalapunkat, legyen A az origó, AB az x-tengely, AD az y-tengely. Tegyük fel, hogy B' koordinátái (0,b). Ekkor a hajtásvonal BB' felezőmerőlegese, így az egyenlete könnyen felírható:

átmegy BB' felezőpontján, ez (6,b/2),

normálvektora BB', ez (12,-b),

így a felezőmerőleges egyenlete

12x - by = 72 - b^2/2.

Ennek a metszéspontja az AB oldallal, azaz az y=0 egyenessel

(6 - b^2/24 , 0),

a BC oldallal, azaz az x=12 egyenessel

(12 , 72/b + b/2).

Innen leolvashatóak a hajtáskor keletkező derékszögű háromszög befogói:

az AB oldalra illeszkedő befogó

12 - (6 - b^2/24) = 6 + b^2/24,

a BC oldalra illeszkedő befogó

72/b + b/2.

Ebből az hajtásvonal - azaz az átfogó - négyzete:

h^2 = (6 + b^2/24)^2 + (72/b + b/2)^2.

Ennek minimumhelye ott lehet, ahol a deriváltja 0. Egyszerű számolás után a derivált

(b^2-72)(b^2+144)^2/(144b^3),

ennek a pozitív zérushelye b = 6*gyök(2).

Itt h^2=243, tehát a minimális hajtásvonal hossza gyök(243).

Ehhez a sarkot B-től az AB oldal mentén

6 + b^2/24 = 9,

B-től a BC oldal mentén

72/b + b/2 = 9*gyök(2)

távolságra kell meghajtani.

4.

Mivel a baloldalon szereplő log_p és a jobboldalon szereplő p alapú exponenciális függvény egymás inverzei, ezek az y=x egyenesre szimmetrikusak egymással. Akkor van pontosan egy metszéspontja a két görbének, ha az y=x egyenes közös érintőjük.

Először megvizsgáljuk, hogy az y=x egyenes hol érintheti az y=p^x görbét. Ebben a pontban y=p^x érintőjének meredeksége 1, tehát

1 = (p^x)' = ln(p) * p^x.

Innen p^x = 1 / ln(p),

azaz

x = log_p (1 / ln(p)) = -log_p(ln(p)) =

=-log_p((log_p(p))/(log_p(e))) = -log_p(1 / log_p(e)) =

= log_p(log_p(e)).

Az y=p^x görbének tehát az

( log_p(log_p(e)) , log_p(e) )

pontjában egységnyi meredekségű ez az érintő. Mivel ez az érintő a feltételünk szerint ráadásul éppen az y=x egyenes, innen:

log_p(log_p(e)) = log_p(e),

p^(log_p(e)) = log_p(e),

e = log_p(e),

p=e^e.

Nekem p-re e^(1/e9 jött ki.

Az érvelés hasonló, de a logaritmusfüggvényt deriváltam:

1=1/(xlnp) → x=1/lnp

És mivel ez a pont rajta van az y=x egyenesen, ezért

log_p(1/lnp) = 1/lnp

ln(1/lnp)/lnp = 1/lnp

ln(1/lnp) = 1

1/lnp = e

lnp = 1/e

p = e^(1/e)

Jogos, az utolsó lépésben néztem el:

e = log_p(e)

alapján

p^e = e,

p = e^(1/e).

Miért nem írod fel inkább az f'(x)=0 egyenlet gyökeit a p paraméter segítségével, majd az abból adódó egyenlőtlenséget, hogy p a gyökök közé esik?

Nekem ez így néz ki:

(2p + 1 - gyök(2p^2+2p+1))/2 < p < (2p + 1 + gyök(2p^2+2p+1))/2

Innen rendezés után a

p(p+1)>0 egyenlőtlenség jött ki, tehát p>0 vagy p<-1.

Persze a teljességhez hozzátartozik annak az ellenőrzése is, hogy minden p értékre valóban vannak szélsőértékek, de ez könnyen látszik onnan, hogy az f'(x)=0 diszkriminánsa minden p-re pozitív.