Melyik az a módszer, amikor megsejtjük egy függvény alakját (fokát) és ahhoz készítünk n=2,3,4 eseteket, és aztán valahogy a függvényt konkretizáljuk? :D

Sokféleképpen lehet bizonyítani.

Ha arra gondolsz, amire gondolom, hogy gondolsz, akkor felírsz egy lineáris egyenletrendszert, amiből megkapod a polinom együtthatóit, és ha az megvan, akkor teljes indukcióval beláthatod, hogy az a polinom tényleg jó lesz az összes kellő esetre.

Ha megsejtetted, hogy egy harmadfokú polinom fogja megadni a kérdéses összeget, akkor azt A*n^3+B*n^2+C*n+D alakban keresed, ahol A;B;C;D valós konstansok, és a polinom értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza (végeredményben azt is látni fogjuk, hogy n=0-ra is működik a dolog). Ha ez megvan, akkor fel tudsz írni 4 egyenletet; 4 elég lesz, mert 4 ismeretlen van:

n=1 esetén: A*1^3+B*1^2+C*1+D = 1^2, ebből A+B+C+D = 1

n=2 esetén: A*2^3+B*2^2+C*2+D = 1^2+2^2, ebből 8A+4B+2C+D = 5

n=3 esetén: A*3^3+B*3^2+C*3+D = 1^2+2^2+3^2, ebből 27A+9B+3C+D = 14

n=4 esetén: A*4^3+B*4^2+C*4+D = 1^2+2^2+3^2+4^2, ebből 64A+16B+4C+D = 30

Ezt az egyenletrendszert megoldva A=1/3, B=1/2, C=1/6 és D=0 adódik, tehát a keresett polinom:

(1/3)n^3+(1/2)n^2+(1/6)n+0, ami kicsit szebben felírható (2n^3+3n^2+n)/6 alakban.

Erről már csak teljes indukcióval kell belátni, hogy minden n-re jó lesz, n=0-ra pedig 0-t ad (és nyilván 0 darab szám összege 0), így arra is működik.