Problémám adódott egy matematika feladattal. Akinek van egy pár perc szabadideje kérem, ha tud segítsen, szabályos nyolcszögről lenne szó?

Szükséges témakör: trigonometria.

Első lépésben rajzoljunk egy szabályos nyolcszöget, majd húzzuk be a szemközti átlókat (amik átmennek a nyolcszög szimmetria-középpontján). Láthatjuk, hogy ezek az átlók 8 háromszögre bontották a síkidomot, nem nehéz belátni, hogy ezek egymáshoz hasonlók, vagyis minden oldaluk és szögük ugyanolyan nagyságú. Ezek közül elég az egyik háromszög adatait kiszámolni. Találjuk ki, hogy a középpontnál mekkora nagyságú szög fekszik. Tudjuk, hogy ha ezt s háromszöget a szimmetria-középpont körül elforgatnánk, akkor egy kört kapnánk, aminek tudjuk, hogy a középponti szöge 360°, és mi ezt a szöget osztottuk fel 8 egyenlő részre, ezért a középpontnál 360°/8=45°-os szög van. Mivel ezek a háromszögek egyenlő szárúak, ahol az alap a nyolcszög oldala, ezért az azon az oldalon fekvő szögek egyenlő hosszúak, és a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért felírható ez az egyenlet (az alapon fekvő egyik szöget elnevezzük Ł-nak): 2*Ł+45°=180°, innen 2*Ł=135°, tehát Ł=67,5°

Most ennek a háromszögnek húzzuk be az alaphoz tartozó magasságvonalát. Mivel a háromszög egyenlő szárú, ezért ez a magasságvonal felezi az alapot és a szöget, amin áthalad. Így kaptunk két derékszögű háromszöget, ahol a befogók az alap fele és a magasság, az átfogó a nyolcszög átlójának a fele, a magassággal szemközt 67,5°-os, az alap felével szemben 45°/2=22,5°-os szög van. Hogy ki tudjuk számolni a nyolcszög területét, ahhoz elég kiszámolni 1 háromszög területét, amit az a*m/2 képlettel számolhatunk, tehát elég a magasságot kiszámolni. Ismert a magassággal szemközti szög és a másik befogó, ezért felírható a következő egyenlet (a magasságot m-mel jelölöm):

tg(67,5°)=m/5, innen m=tg(67,5°)*5=2,414*5=12,07 cm, tehát a háromszög területe 12,07*10/2=60,35 cm^2. A nyolcszög területéhez úgy jutunk, ha minden háromszög területét összeadjuk, így a nyolcszög területe 60,35*8=482,8 cm^2.

Akármilyen síkidom kerületét úgy számoljuk ki, hogy a határoló oldalak hosszát összeadjuk, így 8*10=80 cm a kerület.