Mit jelent az alábbi mondat?

Egy X halmaz (például a természetes számok halmaza) és T(x), (x ∈ X) tulajdonság (pl. a párosság tulajdonság a természetes számok halmazára értelmezve) esetén van olyan A halmaz (a páros számok halmaza), amelyhez pontosan azon elemei tartoznak az X-nek (a páros számok halmazának azon természetes számok az elemei…), amelyek kielégítik a T(x) tulajdonságot (… ami esetén igaz, hogy párosak).

Formálisan:

A := {x∈X : T(x)}

A példánál maradva: Az A halmaz legyen azon természetes számoknak a halmaza, amelyek párosak.

Az állítás az, hogy egyértelműen meghatározható egy halmaz egy másik halmazzal és azon a halmazon értelmezett tulajdonsággal.

~ ~ ~

Ugye meg lehet határozni egy halmazt egy tulajdonsággal. Pl.:

A := {x : T(x)}

Magyarán az A halmaz legyen azon elemek halmaza, amikre igaz a T tulajdonság. Ezzel az a gond, hogy a

„tulajdonság” elég tág fogalom, ahogy az „elem” is. Lehet ezzel paradoxonokat is felírni, vagy nem egyértelmű meghatározását adni egy halmaznak, pl.: A := {x : x∉A}, magyarán A halmaznak legyen minden olyan elem az eleme, ami nem az eleme. Ezt küszöböli ki a fenti pontosítás, ahol kell hogy legyen egy kiinduló X halmaz, és az X halmaz elemein önmagában is értelmezhető tulajdonság, ekkor A halmaz egyértelműen és ellentmondásmentesen meghatározható úgy, hogy az X halmaznak azon elemeit vesszük, amelyek kielégítik a T tulajdonságot.

Csak, hogy kicsit összezavarjalak:

X legyen az összes halmaz halmaza. T(x)-et definiáljuk úgy, hogy T(x) akkor legyen igaz, ha x (ami egy halmaz), nem tartalmazza x-et, vagyis önmagát.

Ekkor létezik olyan A halmaz, amihez X- nek pontosan azok az elemei tartoznak amikre T teljesül? Vagyis azok, amik nem tartalmazzák önmagukat?

Ha van ilyen A halmaz, akkor vajon az A benne van-e ebben a halmazban?

Az A halmaz nem lehet az A-ban, hiszen, A-ban pontosan azok a halmazok szerepelnek, amelyekre a T teljesül, vagyis nem tartalmazzák önmagukat.

Tehát az A nem tartalmazza az A-t, vagyis teljesül rá T tulajdonság. De akkor T és A definíciója szerint benne kellene lennie A-ban.

:)