A, bizonyitsuk be, hogy minden n természetes számra 64|9^n-8n-1 b, Igaz-e, hogy 2013^2+2014|2013^2014-2013?

(a)

Ellenőrizzük n=1 esetre: 9-8-1=0, ami osztható 64-gyel.

Ezután az n+1 esetben meg kell keresnünk az n esetet:

9^(n+1)-8(n+1)-1 = 9*9^n-8n-9 = 9*(9^n-8n-1)+72n+9-8n-9 = 9*(9^n-8n-1)+64n

Itt ugye ha 9^n-8n-1 osztható 64-gyel, akkor a 9-szerese is, és ha 64n-et hozzáadunk, akkor az is.

(b)

Ezt fogalmazzuk meg n=2013 jelöléssel:

n^2+n+1|n^(n+1)-n

vizsgáljuk a jobb oldali kifejezést:

n^(n+1)-n = n*[n^n-1]

most felhasználjuk, hogy 2013 osztható 3-mal:

[n^n-1] = [n^(3k)-1] = [(n^3)^k-1]

a k-adik hatványok különbségére vonatkozó azonosság szerint ebből pedig kiemelhető [n^3-1]

ez pedig így írható: (n-1)(n^2+n+1)

vagyis (n^2+n+1) valóban osztója a kifejezésnek