Bizonyítsa be, hogy minden n természetes szám esetén az n, n8 − 1, n8 + 1 számok közül az egyik osztható 17-tel. Tudnátok segíteni?

Ez az állítás nem igaz.

Tegyük fel, n=1; ekkor n nem osztható, 7 szintén nem (8*1-1) és 9 sem (8*1+1).

Szerintem az n8 az n^8-t akar jelenteni, mert akkor igaz.

De a kérdést is mi találjuk ki? :D

Végig kell nézni az n mod 17 = 0, 1, 2, ...,16 eseteket, ill. az n mod 17 = 0, ±1, ±2, ... ±8 eseteket.

Ha n mod 17 = 0 akkor n osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±1 , ±1^8=1, akkor n^8-1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±2 , ±2^8=256= 1 mod 17, akkor n^8-1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±3 , ±3^4=81=85-4= -4 mod 17, -4^2=16= -1 mod 17, akkor n^8+1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±4 , ±4^2=16= -1 mod 17, -1^4=1= 1 mod 17, akkor n^8-1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±5 , ±5^2=25= 8 mod 17, 8^2=64= -4 mod 17, -4^2=16= -1 mod 17. akkor n^8+1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±6 , ±6^2=36= 2 mod 17, 2^4=16= -1 mod 17, akkor n^8+1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±7 , ±7^2=49= -2 mod 17, -2^4=16= -1 mod 17, akkor n^8+1 osztható 17-tel.

Ha n mod 17 = ±8 , ±8^2=64= -4 mod 17, -4^4=256= 1 mod 17, akkor n^8-1 osztható 17-tel.

Egy elegánsabb megoldás:

A kis-Fermat tétel alapján, ha n és 17 relatív prím (tehát mivel 17 prím, n nem osztható 17-el), akkor

17|n^16-1=(n^8-1)*(n^8+1), következésképpen, vagy n^8-1, vagy n^8+1 osztható 17-el.

Ez alapján persze adódik a következő általánosabb állítás:

Minden n természetes számra és p >2 prímre az

n, n^((p-1)/2)-1, n^((p-1/2)-1 számok közül valamelyik osztható p-vel.