Mi az a többszörös, és egyszeres gyök?

Ha jól tudom, a többszörös gyöknek van egy olyan definíciója, hogy a függvénynek és a deriváltjának is gyöke.

Hogy ennek operátorsíkokon mi értelme van azt nem tudom.

Ez a mondat így elég értelmetlen, de gondolom itt z egy R^2-en értelmezett operátort (leképezést) takarhat. (?) Ha például

z: R^2 -> R egy operátor, akkor x e R^2 gyöke, ha z(x)=0. Azt megjegyezném, hogy a deriváltat használó definíció csak akkor értelmes, ha z egyáltalán differenciálható.

Esetleg egyszerűbb lenne, ha a szövegkörnyezetet is belinkelnéd.

Az s^2+1 polinomnak a komplex számok halmazán 2 gyöke van, az i és a -i. (Ezek a komplex számsík origó középpontú egységsugarú körén helyezkednek el.) Gyöktényezők szorzatára bontva: s^2+1=(s-i)*(s+i), azaz mindegyik gyöktényező: (s-i)^1 és (s+i)^1 első hatványon szerepel, ezért mind az i, mind pedig a -i 1-szeres gyökök.

Emeljük négyzetre! Az s^4+2s^2+1 polinomnak szintén két gyöke van az i és a -i, de gyöktényezők szorzataként felírva: s^4+2s^2+1=(s-i)^2*(s+i)^2, azaz mindegyik gyöktényező: (s-i)^2 és (s+i)^2 második hatványon szerepel, ezért mind az i, mind pedig a -i 2-szeres multiplicitású gyökök.

Ha tehát egy polinom gyöktényezős alakjában (s-s0)^n szerepel, akkor az s0 "n"-szeres multiplicitású gyöke a polinomnak.