Megoldaná valaki? (Kombinatorikus geometria)

Moser-gráf

A gráf csúcsait nem lehet úgy kiszínezni...

(Valamelyik belső pontból elindulva könnyen belátható.)

[link]

A változatosság kedvéért legyen a három szín mondjuk az okker, a karmazsin és a türkiz.

Tegyük fel, hogy van okker színű A pont (ez ugye az általánosság rovása nélkül megy). Ha az e körüli egység sugarú E körön van okker színű pont, akkor készen vagyunk, tehát nézzük azt, hogy a kör minden pontja karmazsin vagy türkiz. Ha egy karmazsin színű pontból elindulunk a körön, akkor egység lépésekkel körbe érünk egy szabályos hatszögön, aminek a csúcsai felváltva karmazsin és türkiz színűek (vagy találunk olyan szakaszt, ami kell). Ha most ezen pontok valamelyikével csináljuk ugyanezt, akkor egy háromszögrácsot kapunk, amiben bármely két szomszédos pont különböző színű, de ez ugye nem elég, tehát trükkösebb a probléma.

[És ehhez a bekezdéshez tessék rajzolni egy háromszögrácsot.]

Az a baj, hogy a körnek csak úgy ráböktünk egy karmazsin színű pontjára, és semmi speciálisat nem csináltunk még mindig. Menjünk most a háromszög rács A pontjának másodszomszédjaira, az eddigi színezésünk alapján ezek mindegyike okker színű kell legyen. De vizsgáljuk meg az A középpontú gyök(3) sugarú F kört (ugye gyök(3)/2 az egység szabályos háromszög magassága, most ennek a dupláját vesszük). Ha az F kör minden pontja okker színű, akkor készen vagyunk, mert ennek is van egység hosszú húrja, aminek így mindkét végpontja azonos színű lesz. Tehát nézzük azt az esetet, hogy van neki egy másmilyen színű B pontja, az általánosság rovása nélkül feltehetjük, hogy az türkiz színű. Nézzük meg a B középpontú egységsugarú G kör és az eredeti E kör metszéspontjait. Ezek nem lehetnek okker színűek az A pont miatt, se türkiz színűek a B pont miatt, tehát mindenképpen csak karmazsin színűek lehetnek. De ha megnézzük, akkor ezek egy másik egységháromszögrács szomszédos pontjai, amik egységtávolságra vannak és azonos színűek, tehát készen vagyunk.

[Az utolsó bekezdéshez is tessék rajzolni három kört és két szabályos háromszöget.]

Csak azért írtam hosszabban, hogy lehessen látni, hogy hogyan lehet rájönni. Ha nagyobb ötletekben is szabad ugrálni, mint én tettem, akkor itt van egy tömörebb bizonyítás:

[link] (12. feladat)

Ha még nagyobb ötletekben is, akkor lásd a 18:56-os linkje.

(Ugye azt az ábrát úgy kapjuk, hogy a gyök(3) sugarú körben elforgatjuk az egymáshoz oldalaival illeszkedő két szabályos háromszöget, hogy az általuk meghatározott rombusz hosszabbik átlója egyik végpontja helyben marad, a másik egységgel kerül arrébb. Kicsit mintha torz lenne a linken, tehát hogy szépen is meglegyen:

[link] A világosabb vonalakat korábban rajzoltam, mint a sötétebbeket.)