Kezdőoldal » Tudományok » Alkalmazott tudományok » Létezik olyan valósból valósba...

Létezik olyan valósból valósba képező függvény, ami minden pontban differenciálható, de a deriváltja sehol sem folytonos?

Figyelt kérdés
A függvényt a teljes intervallumon értelmezzük.

2019. márc. 16. 20:12
 1/7 anonim válasza:
Nem.
2019. márc. 16. 20:52
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/7 anonim ***** válasza:
12%

A kérdés ellentmondásos, látszik, hogy a kérdező mennyire nem érti a deriválás lényegét és elméletét.


Érdekesebb lett volna az a felvetés, ha olyan függvényt kersne a kérdező, amely mindenhol folytonos, de sehol nem differenciálható. (Ilyen létezik, de a bizonyítás nehézkes)

2019. márc. 16. 22:42
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/7 dq ***** válasza:
92%

Nincs. Ismert tétel, de nincs neve. Pl itt van rá egy bizonyítás:

[link]

2019. márc. 16. 23:13
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/7 anonim ***** válasza:
31%

Kicsit tömörebb bizonyítás:

[link]


Innét vannak linkek további érdekességekhez:

[link]

2019. márc. 16. 23:34
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/7 anonim ***** válasza:
44%
Nem, ezt sajnos benéztem. Ez nem bizonyítja. A második linkemről lehet eljutni hasonló bizonyításokhoz, mint amit a 23:13-as linkelt.
2019. márc. 16. 23:36
Hasznos számodra ez a válasz?
 6/7 anonim ***** válasza:
0%
Ha jól tévedek, már azt is be tudjuk bizonyítani, hogy ha mindenhol differenciálható, akkor a deriváltfüggvénye folytonos, tehát nem, hogy végtelen sok, de még egy szakadáspontja sincs.
2019. márc. 17. 12:48
Hasznos számodra ez a válasz?
 7/7 anonim ***** válasza:
27%

Ha nem szerettek kattintani:


Nézzük azt a függvényt, ami x^2*sin(1/x), ha x nem 0, és 0 különben. Világos, hogy ennek a deriváltja

2*x*sin(1/x) + x^2 * (–1)/x^2 * cos(1/x) = 2*x*sin(1/x) – cos(1/x),

ha x nem 0.


Ha x = 0, akkor a derivált a

lim( ((0 + h)^2*sin(1/(0 + h)) – 0)/h, h = 0) = lim(h*sin(1/h), h = 0)

határérték. Ugye mivel a sin(valami) legfeljebb 1, ezért |h*sin(1/h) – 0| < |h|, tehát ha adott egy tetszőleges e > 0 valós szám, akkor bármilyen |h| < H = e-re h*sin(1/h) közelebb lesz a 0-hoz e-nél. Így ez a határérték, tehát a derivált, létezik, és 0.


Így a derivált: 2*x*sin(1/x) – cos(1/x), ha x nem 0, és 0 különben. Viszont ez nem folytonos a 0-ban, mert nincs olyan f, hogy ahhoz a függvény minden eleme akár e = 0,9-nél közelebb legyen minden |x – 0| < H számra, a cos(1/x) minden értéket felvesz a [–1, 1] intervallumon akármilyen pici (–H, H) intervallumra.


A második linkem azt taglalja, hogy ebből a példából legyártható olyan függvény, ami deriválható, de a derivált végtelen sok pontban nem folytonos.


Ha kattintotok a kérdés első változatához vezető linkre:

[link]


> „The continuity set of a derivative on an open interval J is dense in J.” -->

--> „Azon pontok halmaza, amikben a derivált folytonos egy nyílt J intervallumon, sűrű J-ben.”

Tehát lesz végtelen sok pont, amiben a derivált folytonos, szóval NINCS olyan függvény, ami a kérdésben szerepel.


Aztán egy érdekesség, hogy azon pontok D halmaza is tud sűrű lenni, amikben a derivált NEM folytonos. De a többit nem fordítom le, mert úgy se hinnétek el.

2019. márc. 17. 13:23
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!