Az f (x) = 0 függvényt leszámítva létezik olyan valós függvény, ami egyszerre páros és páratlan?

Páros, tehát minden x-re

f(x) = f(–x),

ami egy konkrét valós szám.

Páratlan, tehát minden x-re

–f(x) = f(–x)

ami szintén egy konkrét valós szám.

A második egyenletből

f(x) = –f(–x),

így

f(–x) = –f(–x) --> f(–x) + f(–x) = f(–x)*2 = 0.

Ez CSAK úgy lehet, ha f(–x) = 0 minden x-re.

Szóval nem.

Másik levezetés;

Vegyük az f(x) függvény egy (a;f(a)) pontját. Ha az f(x) függvény páros, akkor a függvény áthalad a (-a;f(a)) ponton is; tükröztük az y-tengelyre, így csak az első előjele változott. Ha egyben páratlan is, akkor a (-a;-f(a)) ponton is áthalad; tükröztük az origóra, amit úgy is megtehetünk, hogy először az y-, majd az x-tengelyre tükrözzük, és eszerint változotak a koordináták előjelei.

Itt a probléma az, hogy a -a számhoz két értéket rendeltünk; az f(a) és a -f(a) számokat. Ha ezek különböznek, akkor nem beszélhetünk függvényről, így szükségszerűen f(a)=-f(a), amire f(a)=0 adódik. Ez tetszőleges a-ra így fog történni, tehát f(x)=0, más lehetőség nincs.

Ha megfelelően megszorítjuk az értelemzési tartományt, akkor is csak az f(x)=0 függvényt kapjuk, de mégis más lesz, mint az eredeti mivel más az értelmezési tartomány.

Valakik úgy tartják, hogy az x0y koordináta-rendszerben az f(y)=0 (függőleges egyenes) is függvény. Ha igazat adunk nekik, akkor ez is megfelel a feltételeknek.

Rendkívül fantáziadús kérdés. Itt már a számfogalommal van a baj, hol van ettől a függvény.

Minden függvénynek az értelmezési tartománya minden pontjában van egy értéke. Ez az érték egy szám. Ami egyszerre páros és páratlan. Ilyen szám nincs, mivel a páros és páratlan fogalma így van definiálva.

3-as: Nem a kérdező fejében van a baj, hanem a tiedben. Neked kellene kicsit utánanézni, mit jelent a függvény paritása, azaz mikor páros egy függvény, és mikor páratlan.

Amiről te beszélsz, azok a páros és páratlan számok. Kérlek szépen, ezek a fogalmak köszönőviszonyban sincsenek a függvényanalízisben használt páros és páratlan függvény fogalmával.

> „Az f(x)=|x|-ix függvénynek a valós része páros, a képzetese pedig páratlan. (Legalábbis én így tudom, de majd kijavít valaki ha nem így van, nem igazán értek ehhez.)”

Ha x valós szám, akkor csak annyi a hiba, hogy ez nem valós függvény. A Re(f(x)) = |x| már az, és az valóban páros (de semennyire nem páratlan); és az Im(f(x)) = –x is valós, és valóban páratlan (de semennyire nem páros) – szóval ellenpéldának egyik sem jó.

Ellenőrizve a példádat, például x = 3 + 4*i-re:

f(x) = f(3 + 4*i) = 5 – 3*i + 4 = 9 – 3*i.

f(–x) = f(–3 – 4*i) = 5 + 3*i – 4 = 1 + 3*i ≠ f(x),

tehát ez nem páros függvény. (Meg nem is páratlan, mert –1 – 3*i sem az eredeti érték.)

Vagy x = 1-re:

f(1) = 1 – i, de f(–1) = 1 + i, tehát még valós x-ekre sem egyezik f(x) és f(–x) vagy –f(–x).

Amúgy a 00:31-es levezetés komplexekre is működik, mert ha f = a + b*i egy tetszőleges komplex szám (ahol a és b a valós és képzetes rész valósak), akkor az f = –f összefüggés csak úgy teljesülhet, ha

a + b*i = –a – b*i --> a = –b*i,

de mivel b valós, ezért a csak úgy lehet valós, ha b = 0, így a is 0 lesz, tehát az egyetlen komplex függvény, ami páros és páratlan egyszerre, az az f = 0 + 0*i = 0.

Kérdező!

Azt gondolom, sok mindent lehet tenni, de leghasznosabb a megértés. Én például azt próbáltam megérteni, hogy a számfogalom páros/páratlan tulajdonságának miféle ismerete vet fel valakiben ilyen kérdést. Nem volt könnyű a megértés.

8-as, bizonyára csak trollkodsz.

[link]