Akkor mi is pontosan a determináns definiciója?

Úgy választasz ki minden oszlopból 1 elemet, hogy minden sorban, és minden oszlopban pontosan egy elem álljon.

Ezeket ez elemeket összeszorzod, majd a szorzatokat adod össze valamilyen előjellel.

Az előjel pedig annak a paritása, ahány darab sorcserével lehet a kiválasztott elemeket a főátlóba vinni. (ez a szám nem egyértelmű, de a paritása az)

Az első oszlopban van valahol egy kiválasztott elem, azt a sort kicseréled az első sorral, és az így legfelülre kerül.

Második, harmadik, stb oszlopokra ugyanígy.

Geometriailag egy nxn-es mátrix determinánsa a sorvektorai által kifeszített n-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.

Ha a determináns nulla, akkor ez a térfogat is nulla, azaz a mátrix levetíti a n dimenziós teret egy (n-k)-dimenziós térre, ahol k a lineárisan összefüggő sorvektorok száma. Mivel vetítésnél több vektort képezünk le egy vektorra, nyilván nincsen inverz mátrix.

A permutációs definíció alapján ezt nem könnyű belátni.

A permutációs definíció sajnos mind a megértéshez, mind a determináns konkrét kiszámításához alkalmatlan...

Nem tudom, milyen szinten érdekel a téma, de lehet érdemes lenne utánanézned a 2 vektor között értelmezett külső szorzatnak (exterior product). Miután megértetted, hogyan adja ki a determinánst a külső szorzat, könnyű belátni a permutáción alapuló definíciót is.

Ezért érdemes néhány másik tételt is megtanulni a definícióhoz.

- A determináns értéke nem változik transzponáláskor.

- A determináns nem változik, ha valamely sorához egy másik sor többszörösét hozzáadjuk.

- Ha a főátló alatt minden elem 0, akkor a determináns egyenlő a főátlóban lévő elemek szorzatával.

Innen kezdve én nem tökölnék a kiszámítással...