Matek Halmazoknál: Sorolja fel a következő halmaz elemeit: {xǀx+1=x} Na most az a bajom, hogy ha x-hez hozzá adok 1-et hogyan lehet x? A többit példát megoldottuk, de ez nem megy.

> Na most az a bajom, hogy ha x-hez hozzá adok 1-et hogyan lehet x?

Sehogy

A megoldás egy üres halmaz. Az is halmaz, csak éppen egyetlen egy eleme sincs.

{{}, {oo}}

Azaz egy halmazokat tartalmazó halmaz, amiben két halmaz is van: a végtelen-t tartalmazó halmaz és az üres halmaz.

Ha csak számokkal gondolkodunk.

Lehet ennél elvontabban is gondolkodni.

Nincs megadva, mi lehet az alaphalmaz, amiből válogatni kell, ezért lehet a halmaz maga a "eltelt másodpercek a számossága". :) de ezzel már a tanárt lehetne csak kiborítani.

Van értelme egy halmazhoz egy számot hozzáadni? Van értelme annak, hogy {2,5,8}+1? Még a {2,5,8}+{1}-nek sincs sok értelme, a halmazokra nem értelmezhető az összeadás művelete. Illetve ami annak számítanak – mondjuk a két halmaz uniója –, azt meg nem így jelöljük.

Nekem a x+1=x feltételből egyértelműen adódik, hogy x nem lehet halmaz, csak szám, vagy olyan matematikai fogalom, ahol értelmezve van egy számmal való összeadás művelete. Hogy milyen szám, természetes, egész, racionális, komplex szám, az innentől mindegy is, hiszen egyikre sem lesz az egyenletnek megoldása.

A végtelennel az a gond, hogy az nem szám. Két helyen fordul elő a matematikában a végtelen fogalma, az egyik a határérték számításnál, ami itt nem értelmezhető, a másik a halmazok számosságánál. Elvileg ez utóbbi még akár bele is férhetne, de csak az a gond, hogy ennek a halmaznak a elemeit bajos felsorolni. Még az is eldönthetetlen, hogy ℵ₀ és ℵ₁ között van-e köztes számosság. Lehetne elvileg kreálni egy ℵ₂ számosságot is, csak éppen ez még senkinek nem sikerült, és nehéz lenne megmondani, hogy mit is reprezentálna egy ilyen számosság. Lehet, hogy az számosságok halmaza is végtelen? Akkor még azt is nehéz lenne értelmezni, hogy ezen végtelen halmaznak mekkora a számossága. (A jelölés szerint tűnhet ℵ₀-nak, hiszen az ℵ jelet nemnegatív egész számokkal indexeljük, de az sem biztos, hogy ezen jelölésben az index csak egész szám lehet, hogy nincs esetleg ℵ₃.₁₄₁₅₉₂… számosság is.)

De evidens, hogy jelen matematikai szint esetében egyértelműen feltételezhető, hogy x értelmezésénél valahol x∈ℕ és x∈ℝ, legfeljebb x∈ℂ vagy x∈ℍ jöhet szóba. De mindegyiknél az x+1=x egy 0≠1 egyenlőtlenséggé egyszerűsíthető csak, ami egyetlen számhalmaz esetén sem válik egyenlőséggé.

még mindig nincsen számosság alef1 és alef0 között (szerintem már írtam neked)

(ZFC-ben nincs, ZF-et most meg nem mondom.)

ZFC-ben a rendszámok 'jólrendezettek', létezik alef1, azaz alef0-ra rákövetkezõ számosság, hogy nincsen számosság szigorúan köztük.

Azt nem tudjuk, hogy alef1 megegyezik-e 2^alef0-lal, ZFC-bõl nem következik legalábbis (megadták két modelljét ZFC-nek hogy az egyikben megegyezik, a másikban nem).