Valaki meghatározná az abc alakú háromjegyű természetes számot, ha abc=ab+bc+ca, a≠0 és a, b, c nem lehetnek ugyanazok a számok?

Egy megoldást találtam:

[link]

[abc] = 100a +10b + c

[ab] = 10a + b

[bc] = 10b + c

[ca] = 10c + a

(Itt most szögletes zárójellel jelölöm az egybeírást.)

Ebből így adódik az egyenlet:

[abc] = [ab] + [bc] + [ca]

100a +10b + c = 10a + b + 10b + c + 10c + a

100a +10b + c = 11a + 11b + 11c = 11 * (a+b+c)

Ha a, b és c a legnagyobb egyjegyű számok, akkor az egyenlet jobb oldalán az (a+b+c) = 9+8+7 = 24

Ennek a 11-szerese 264. Az egyenlet jobb oldalán nem lehet ennél nagyobb szám, így a bal oldalán sem.

Ebből következőn „a” nem lehet kettőnél több. Azaz „a” értéke csak 1 vagy 2 lehet, más nem.

~ ~ ~

I. Tegyük fel, hogy a=1. Ekkor:

100a +10b + c = 11a + 11b + 11c

100 + 10b + c = 11 + 11b + 11c

Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából (11+10b+c)-t:

89 = b + 10c = 10c + b

Ez csak úgy állhat össze, hogy c=8 és b=9, hiszen 10c+b egy és csakis egy [cb] alakú számot adhat ki.

Ellenőrizzük is ezt az eredményt:

[abc] = 189

[ab] = 18

[bc] = 89

[ca] = 91

[ab]+[bc]+[ca] = 18 + 89 + 91 = 198

A megoldás helyes, és a=1 esetén ez az egyetlen helyes megoldás.

~ ~ ~

II. Tegyük fel, hogy a=2. Ekkor:

100a +10b + c = 11a + 11b + 11c

200 + 10b + c = 22 + 11b + 11c

Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából (22+10b+c)-t:

178 = b + 10c = 10c + b

Mivel 10c+b egy [cb] alakú kétjegyű számot határoz meg, így nem lehet háromjegyű. Tehát a=2 esetén nincs megoldás.