Két szám átlaga miért van a két szám között pontosan középen?

Legyen a két szám „a” és „b”, és legyen az „a” a kisebb.

Legyen n=b-a, azaz legyen n a két szám különbsége, ami egy nemnegatív szám lesz.

Ebből következően:

n = b-a

b = a+n

Jelöljük x-el a két szám átlagát. A két szám átlaga:

x = (a+b)/2

Behelyettesítve a b=a+n összefűggést

x = (a+a+n)/2

x = (2a+n)/2 = (2a/2) + (n/2) = a + n/2

Ebből következően:

a = x - n/2

Behelyettesítve a b=a+n összefüggésbe:

b = a+n

b = x - n/2 + n

b = x + n/2

x = b - n/2

Tehát:

x = a + n/2

x = b - n/2

Az átlagból távolsága a két számtól azonos: n/2

De úgy az átlag definíciójából józan paraszti ésszel is következik. Az átlag valahol egy olyan mennyiség, ami valahol félúton van, ami a különböző számokhoz a lehető legközelebb van. Két szám esetén pont félúton.

Ez a definíciójából következik: a számtani átlag az az érték, amire ha a számokat lecseréljük, összegük nem változik.

A mértani középnél az a definíció, hogy ha a számokat erre lecseréjük, a szorzatuk nem változik. Ez nem pont középen van, a kisebb számhoz van közelebb.

Van még pár középérték, a feladat dönti el, hogy melyik hazsnálatának van értelme. Pl. ha az átlagos inflációról vagy kamatról beszélünk, akkor a mértanit kell használni, mert akkor igaz, hogy ha ez az átlagos lett volna végig, akkor ugyanúgy megkapnánk a régi összegekből a maiakat. Például ha egyik évben volt 100% növekedés, a következőben 50%-os visszaesés, akkor az átlagos növekedés nem (100;-50)=>25, hanem nulla (2;0,5)=>1-szeres a változás.