A hatványozásnak, tetrációnak milyen geometriai jelentése van?

A hatványozás ugye visszavezethető szorzásokra. A hatványozásnak még úgy a dimenziók száma az, ami valós geometria interpretációval bír. Pl. egy n-dimenziós „gömb”, vagy egy n-dimenziós „kocka” térfogata a méretével (sugarával, oldalhosszával) n-dik hatványosan arányos, a felülete meg (n-1)-dik hatványosan arányos.

Pl. ennek lehet jelentősége. Mi három térdimenziót ismerünk. De ha feltételezzük, hogy esetleg léteznek más olyan jellegű dimenziók, amik számunkra nem tapasztalhatóak meg egyszerűen, akkor lehet vizsgálni, hogy pl. a gravitációs vagy az elektromágneses kölcsönhatás ezen dimenziókon keresztül is hat-e. Mivel a mérések eredményeként mindkettő a távolság négyzetével egész pontosan fordítottan arányos – lévén x távolságnál az x távolságnak megfelelő felületen kell ugyanannak a hatásnak eloszlania –, ezért ebből következik, hogy mind a gravitáció, mind az elektromágneses kölcsönhatás csak a miáltalunk jól ismert dimenziók mentén hat, ha vannak is további dimenziók, ezek mentén a egyik kölcsönhatás sem fejti ki a hatását.

De már az n-dimenziós tér is meglehetősen absztrakt fogalom. A tetráció is egy absztrakt művelet. Az összeadás→szorzás, szorzás→hatványozás műveletének absztrakt továbbvitele. Én nem tudok arról, hogy ezt lenne valamilyen még a valóságban valamennyire elképzelhető interpretálása ennek a műveletnek. (Nota bene nem is nagyon szoktuk használni, nem is nagyon tanítják. Inkább csak általánosságban jönnek elő a hiperoperációk, és ha valami valós geometriai reprezentációval bíró probléma megoldásában fel is lehet ezeket használni, akkor is ez már csak absztrakt matematika, a valós reprezentációja nem igazán vizualizálható.)

Amennyiben egy matematikai műveletet függvénynek tekintesz, és azt ábrázolod, úgy van. De gyakran semmi értelme (haszna). A geometria egyes eseményeit meg lehet feletetni algebrai műveleteknek és fordítva, de ilyen csak akkor teszünk, ha szükség van rá, vagy érdemes szemléltetni valamit.

Egyébként minden matematikai ág (és művelői) jól elvan magában.