Mi a különbség a lebontogatás és a mérlegelv (egyenletmegoldási módszerek) között?

Az a különbség, hogy a lebontogatás csak akkor működik, hogyha az egyenlet egyik oldala egy konkrét érték, például:

8*(3x-5)-10 = 70

Itt gondolkozhatunk úgy, hogy "Miből kell 10-et elvennünk, hogy 70-et kapjunk?" Erre a válasz a 80, tehát

8*(3x-5) = 80

És így tovább.

Hogyha a jobb oldalon bejön valami ismeretlen, akkor a lebontogatás (általában) nem fog működni.

A lebontogatás folyamata a mérlegelvet használja ki.

A mérlegelv ugye azt mondja, hogy az egyenlet olyan, mint egy mérleg. Ha a mérleg mindkét oldalára ugyanolyan súlyt teszel, a mérleg ugyanúgy egyensúlyban marad. Ha ugyanannyit veszel el belőle, akkor is. Stb… A mérlegelv azon alapszik, hogy a mérleg ha egyensúlyban van, akkor a mérleg bal és jobb oldala ugyanazt az értéket képviseli, márpedig ha ugyanazon értéken végzünk el ugyanolyan műveleteket, akkor ugyanaz lesz az eredmény is. Tehát a mérleg elv így fogalmazható meg röviden:

Ha:

a = b

akkor

a @ c = b @ c

ahol @ egy műveletet jelent, összeadást, kivonást, szorzást, osztást.

A lebontásnál ennek a megfordítása történik, ott az az elv, hogy ha ugyanazt a műveletet elvégezve egyező eredményt kapunk, akkor az is egyezik, amin a műveletet végeztük. Röviden:

Ha:

a @ c = b @ c

akkor

a = b

Vannak műveletek, amelyekre ez utóbbi úgy általában igaz. Pl.:

a = b → a + c = b + c

és

a + c = b + c → a = b

Viszont vannak műveletek, illetve vannak olyan operandusok, amire ez kölcsönösen nem érvényes. Pl.:

a = b esetén igaz, hogy a*0 = b*0

a*0 = b*0 esetén viszont nem biztos, hogy igaz, hogy a=b.

Pl.:

5 = 5 → 5*0 = 5*0

viszont

5*0 = 7*0, de 5≠7

Vagy a = b esetén igaz, hogy a² = b²

a² = b² esetén nem biztos, hogy a=b.

Pl.:

3=3 → 3² = 3²

viszont

(-3)² = 3², de -3≠3, vagy

5^0 = 7^0, de 5≠7

(Akár mérlegelvről van szó, akár lebontásról, ha egy ismeretlennel végzünk műveletet ilyen esetekben kell kikötéseket tenni, illetve elágaztatni a megoldást arra az esetre, ha egy adott eset áll fenn, illetve ha nem.

Pl.:

y*(3x-5) = 2x

esetén ha y≠0, akkor

0*(3x-5) = 2x

0 = 2x

Ha y≠0, akkor meg:

y*(3x-5) = y*(2x/y)

2x-5 = 2x/y

~ ~ ~

A lebontásnál ez történik:

8*(3x-5)-10 = 70

A bal oldalon az utolsó elvégzett művelet a 10 kivonása volt, írjuk fel tehát a 70-et úgy, hogy egy művelet legyen, valaminek a végén kivonunk 10-et:

8*(3x-5)-10 = 80-10

Mivel a-10=b-10 → a=b, ezért:

8*(3x-5) = 80

De felfogható úgy is a lebontás művelete, hogy a mérlegelv segítségével olyan műveletet végzünk az egyenlet mindkét oldalán, ami a bal oldal utolsó műveletét ellensúlyozza, kiejti:

8*(3x-5)-10 = 70

Mivel az utolsó művelet 10 kivonása volt, ezt 10 hozzáadásával lehet ellensúlyozni. És mivel a=b → a+10=b+10, ezért:

8*(3x-5)-10+10 = 70+10

A -10+10 -el lehet egyszerűsíteni, tehát:

8*(3x-5) = 70+10

8*(3x-5) = 80

~ ~ ~

Tehát röviden a mérlegelv ezt az összefüggést használja ki adott művelet, illetve adott operandus esetén:

a = b → a @ c = b @ c

A lebontás viszont ennek a fordítottját:

a @ c = b @ c → a = b

Adott műveletnél mindkét összefüggés fennáll, adott műveletnél, és/vagy adott operandus esetén meg nem.